培玉 · 一试

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2025 年山东预赛

三次方程三实根与循环对数乘积

F2解答题多项式

已知关于 $x$ 的三次方程

x^{3} - 20 x^{2} + 25 x - 2 = 0.

（1）证明：该方程有三个互不相同的实数解 $α < β < γ$ ；

（2）求

P = (lo g_{α + β + γ} (α β + β γ + γ α)) (lo g_{α β + β γ + γ α} (α β γ)) (lo g_{α β γ} (α + β + γ))

的值。

作答

这是解答题，请在纸上写出完整过程。写完后对照解答给自己评分。

解析

为什么评为 F2（会透露解法方向）

用0,1,2,20构造三个变号区间，再由次数说明根数恰为3；对称式对数乘积直接换底相消。

用到的方法（会透露解法方向）

核心工具：零点个数与多项式次数、韦达定理：根的整体关系

专题卡：多项式在几个点取已知值：作差变成零点，再由次数定形、只问根的和、积和对称式：用韦达定理，不求根