2014 年山西预赛 · 第 7 题

解答

令 $q=(\sqrt{5}-1)/2$。因分母均为正，左边不等式等价于

右边不等式等价于 $(2q-1)n<7-q$。有 $2-3q>0$、$2q-1>0$，且

所以两式同时成立当且仅当 $n<(25+13\sqrt{5})/2$。由 $29^2<13^2\cdot 5<31^2$，知此阈值严格在27与28之间。故对正整数 $n$，两式同时成立恰好为 $1\le n\le 27$。要求每个正整数 $n\le m$ 均成立，等价于 $1\le m\le 27$。所有可取值为 $\boxed{m\in \{1,2,\dots ,27\}}$。