2023 年四川预赛

思路

递推f后项为前两项和，特征方程r²=r+1有一大一小两根；相邻乘积差 $f_n{f}_{n+2}-f_{n+1}^2$ 每步反号，可直接代递推验证。

想法从哪来：要求对每个n成立的最小常数，先把它理解成一个比值序列的上确界。递推数列的前项和可以裂项成末尾项减固定初值，因此归一化比值只需涉及相邻两项。单看相邻项比的极限只能猜到候选常数，不能保证前面某项不超过它；应另外证明该比值单调。通分作差后会遇到相邻三项的乘积差，它随递推交替变号而绝对值不变，这正好控制差的符号。最后用特征根求极限，并分开说明“每一项受界”和“任何较小常数会被后期项超过”；上确界无需在有限项取得。

先用递推式把前 $n$ 项和写成 $f_{n+2}-b$。考察相应比值 $R_n$，直接作差可把单调性归结为广义 Cassini 恒等式；比值的极限再给出不可降低的最优常数。