2019 年全国高中数学联赛一试（A 卷） · 第 4 题

解答

设椭圆长半轴为a，半焦距为c。$2a=4$，且较远的顶点焦点距 $a+c=2+\sqrt{3}$，所以 $a=2,c=\sqrt{3}$。令 $u=|PE|,v=|PF|$，由椭圆定义 $u+v=4$，题设 $uv=2$，故 $u^2+v^2=16-4=12=|EF{|}^2$。勾股逆定理得 $\angle EPF=90^{\circ }$，面积为 $uv/2=\boxed{1}$。