同一骨架 2024 年江西预赛 · P006546
成倍角组合中的高次幂，可先降为有限个一次三角频率，再用和差化积或互补角让这些频率相消。先找能闭合的角组，通常比逐个计算各角函数更简洁。
前题用三倍角公式把立方降为一次项与特殊角；后题需同时处理平方和四次方，检查两轮倍角余弦和的消去关系。
培玉 · 一试
2025 年四川预赛
三角函数立方和化简
F2填空题三角恒等变形
化简
则其值为。
作答
分数写 a/b，根号写 √ 或 sqrt，π 写 pi 也可以。
标准答案：
解析
思路
三个角的三倍角都是特殊角，故使用 ；同时，前三个一次正弦项可用和差化积直接抵消。
想想一道相关的题
先回想这道题的想法，再试试当前题。
解答
由
以及 ，原式等于
复核
，，故括号内特殊角部分为 ，符号与原式的数值负号一致。
方法总结
立方三角函数遇到成倍角时，应先用三倍角公式降幂；若剩下的一次项角度互补或可和差化积，通常会进一步消去。
为什么评为 F2（会透露解法方向）
先注意20度和40度的正弦和等于sin80度，再用三倍角消去一次项，仅剩特殊角。
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