2018 年中科大少年班初试 · 第 9 题

解答

竖直线只有一个交点，故设 $m:y=k(x+1)$。联立得 $x^2-kx-k=0$，两点要求 $k(k+4)>0$，即 $k>0$ 或 $k<-4$。行列式面积为 $|k|\sqrt{k^2+4k}/2=3$，所以 $k^4+4k^3-36=0$。该多项式在正半轴严格递增，在 $(-\infty ,-4)$ 严格递减；两个区间端部值为负三十六，无穷端均为正，故各有唯一根 $k_{+},k_{-}$。答案为 $\boxed{y=k_{+}(x+1)\text{或}y=k_{-}(x+1)}$，其中两根分别由上述两个区间精确定义。