同一骨架 2026 年广州预赛 · P006119
两题都把“两个平方相差一个量”写成差与和的乘积，再用整数间距、正性和奇偶信息压缩可能。真正有效的是平方根之间的离散间距，而不是仅给平方量一个连续估计。
一题分类哪些单个整数可表示为正平方差，须排除零平方端点；另一题同时有两条平方差关系，前一条先锁住后一条的增量范围。
培玉 · 一试
2023 年吉林预赛
F2填空题数论
前 个正整数中，能写成两个正整数平方差的数的总和为 。
作答
分数写 a/b，根号写 √ 或 sqrt，π 写 pi 也可以。
标准答案：
解析
思路
用 的奇偶性刻画平方差，注意两个平方数都要求对应正整数。
想想一道相关的题
先回想这道题的想法，再试试当前题。
解答
正整数 （）当且仅当： 是不小于 的奇数， 或 是不小于 的 的倍数。前者用
后者若 （），用 。 因此所求总和为
复核
因要求 而不能表示；模 为 的数不可能是平方差，分类完整。
方法总结
平方差表示问题先按模 分类，再特别检查最小数与“正整数”对零的排除。
为什么评为 F2（会透露解法方向）
平方差分解给出奇数或4倍数的常见分类，再因两个平方底数均为正排除1和4，最后作等差求和。
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