2026 年广东预赛

解答

若方程的两个整数根为 $r,s$，由韦达定理

因为 $r,s$ 同奇偶，所以存在整数 $t$，使得

于是

反过来，对任意整数 $t$，取上述 $r,s$ 就得到整数根，因此 $T$ 中的元素恰为 $4-t^2$（$t\in \mathbb{Z}$）的不同取值。

由于 $a$ 为整数，且

条件 $a^2<2026$ 等价于 $-45\le a\le 45$。代入 $a=4-t^2$，可得

不同的 $a$ 只取决于 $t^2$，故只需令

这八个平方互不相同，并分别给出八个满足条件的 $a$。因此