一试训练题

解答

线性支在 $x\le 1$ 上严格递增，值域 $(-\infty ,1]$；对数支在 $x>1$ 上严格递增，值域 $(0,+\infty )$。同一支内严格递增不能取相同值；若 $m$ 在对数支、$n$ 在线性支，则 $m>1\ge n$，与 $m<n$ 矛盾。所以 $m\le 1<n$，设公共值 $t=f(m)=f(n)$，则 $t\in (0,1]$，$m=3t-2$，$n=e^t$，$n-m=g(t)=e^t-3t+2$。因为 $g^{\prime }(t)=e^t-3<0$（$t\le 1$ 时 $e^t\le e<3$），$g$ 在 $(0,1]$ 上递减，最小值为 $g(1)=e-1$，对应 $m=1,n=e$。所以最小值为 $\boxed{e-1}$。