2026 年江西预赛

思路

海伦公式为 ${\Delta }^2=s(s-a)(s-b)(s-c)$，且 $\Delta =rs$。若三组顶点切线长为 $x,y,z$，则 $s=x+y+z$，从而 $r^2=xyz/(x+y+z)$。

想法从哪来：待证的五点中，内心和两个对径点最容易先确定，因而先作过这三点的圆，再检查另外两顶点是否在圆上。共圆性不受缩放影响，可将内切圆半径化为一，并沿顶角平分线建系，使两个对径点关于横轴对称，目标圆方程立刻变得简单。 边长条件用切线长表达会更直接：同一顶点到切点的两段相等，三边就变成三组切线长的两两和。题设给其中一个等于另两个之和，海伦公式与内切半径再提供另两个之积。最后沿两条角边用到顶点的距离作统一参数，代入目标圆得到同一个二次式；两条真实边长的和、积正好证明它们是两根。

$J,K$ 分别是 $E,F$ 的对径点，适合把内切圆单位化并建立关于角平分线对称的坐标系。 条件 $AE=BC$ 用三顶点的切线长表示后，再结合海伦公式，会补出一个关键乘积关系； 它恰好说明 $AB,AC$ 是同一个二次方程的两根，从而把 $B,C$ 同时代入目标圆。