专题地图 › 函数的图像与性质
一试训练题
F2填空题函数的图像与性质
首项系数为1的三次多项式 f(x)=x3+ax2+bx+c 关于点 (1,2) 中心对称，且在3处取值12。求一次项系数 b。
作答
分数写 a/b，根号写 √ 或 sqrt，π 写 pi 也可以。
标准答案：4
解析
思路
中心对称写成 f(1+u)+f(1−u)=4，比较 u 的各次系数，再结合给定函数值解出系数。
解答
关于点 (1,2) 对称等价于对任意 u 有 f(1+u)+f(1−u)=4。计算 f(1+u)+f(1−u)=2(1+3u2)+2a(1+u2)+2b+2c=(6+2a)u2+2(1+a+b+c)。它恒等于 4，所以 a=−3，1+a+b+c=2，即 b+c=4。又 f(3)=27+9a+3b+c=3b+c=12。两式相减得 2b=8，所以 b=4（c=0）。
复核
得到 f(x)=x3−3x2+4x：f(1)=2，f(3)=27−27+12=12，f(1+u)+f(1−u)=4 逐项验证成立。三次函数的对称中心横坐标必为 −3a，与 a=−3 一致。
方法总结
三次函数的中心对称，写成 f(m+u)+f(m−u)=2n 比较系数。
为什么评为 F2（会透露解法方向）
中心对称写成 f(1+u)+f(1−u)=4，比较 u 的各次系数，再结合给定函数值解出系数。
用到的方法（会透露解法方向）
核心工具：多项式系数的赋值与加权求和
专题卡：图像翻折、旋转和对称：写出点的坐标怎么变，再求解析式或函数值、三次函数、分式和与成对求和：找对称中心，两两配对
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