2019 年全国高中数学联赛一试（A 卷） · 第 9 题

解答

由 $C=\pi -A-B$ 得 $2\sin A=\sin (B-A)+\sin (A+B)=2\sin B\cos A$。正弦定理给 $a=b\cos A$，余弦定理再给 $2ac=b^2+c^2-a^2$。又 $b^2=ac$，所以 $c^2-ac-a^2=0$。因a、c均正，令 $r=c/a>0$，得 $r^2-r-1=0$，故 $r=(1+\sqrt{5})/2$。最后 $\cos B=(a^2+c^2-b^2)/(2ac)=a/c=\boxed{(\sqrt{5}-1)/2}$。