2021 年江西预赛

解答

圆的圆心为 $P=(1,0)$，半径为 $1$。设直线 $l$ 的单位方向向量为

并把直线上的点参数化为

直线与圆的两个交点对应 $t=-1,1$。

若 $\sin \theta =0$，直线为 $x$ 轴，它与两曲线不能产生四个不同交点， 故以下设 $\sin \theta \ne 0$。把 (1) 代入抛物线，得到

设其两根为 $\alpha <\beta$。在 $t=\pm 1$ 时，式 (2) 的左端均为负， 故

无论 $\sin \theta$ 正负，自上而下只会同时反转四点次序， 三段长度依次为

或其逆序。

三段长度成等差数列的充要条件为

即

方程 (2) 的判别式为

所以

结合 (3)，得

因此直线斜率

又直线过 $(1,0)$，故