2012 年陕西预赛 · 第 9 题

先移去已知一次项或常数，使目标比较归入一个结构清楚的辅助函数；证明严格单调后，函数值的比较便等价于输入的位置关系。最后都要核原输入的定义域与严格端点。

一题利用导数上界构造严格递减余量并定位零点；另一题利用中心互补关系改写比较，再由严格递增性还原两个输入的次序。

两题都把两点函数值之间的约束转成导数控制，但单侧严格斜率界与双侧绝对值界承担不同任务：前者减去一条直线后判断符号，后者须对整个区间同时控制两个方向。

不要把某条直线下方的导数条件误当成函数差的绝对值界；也不要因导数在端点取到界，就删去非严格条件允许的参数。

导数条件能确定多少信息，取决于它是函数恒等式中的定点常数，还是全域的不等式约束。前者可以求导后回到定点建立自洽方程；后者应减去适当的一次函数判单调，不能据此猜出唯一函数。

前题求出定点导数后能恢复整个多项式；后题只需确定差函数相对已知零点的符号，再按对数定义域还原输入。

两题都在受限范围内处理单调性与边界，但转化方向相反：椭圆弧上的线性组合通过三角参数化为有界相角区间上的正弦单调性；含导数界的抽象函数不等式则通过减去线性函数构造全局单调余量，再把中间变量的范围还原为对数自变量区间。

显式二次曲线弧优先用三角参数消去根式；抽象可导函数与一次式比较则优先作差求导。