2017 年陕西预赛 · 第 4 题

解答

由关于 $y$ 轴的对称性，不妨取 $A$ 在右半平面。延长 $BA$ 交 $x$ 轴正半轴于 $C$。 由 $△OAB$ 为正三角形，$\angle OBC=60^{\circ }$；故直角三角形 $OBC$ 中 $OB=a$，$OC=\sqrt{3}a$。 把平面各点的横向距离按比例 $b/a$ 压缩，纵向距离不变，记此变换为 $\Phi$。 下面验证此变换的像与双射性：点 $(u,v)$ 变成 $(bu/a,v)$，逆变换为 $(u^{\prime },v^{\prime })\mapsto (a{u}^{\prime }/b,v^{\prime })$， 因为 $a,b>0$，这是双射。由已给椭圆方程，

所以椭圆恰变为以 $O$ 为圆心、半径为 $b$ 的圆。 $O,B$ 不动，$C$ 变为 $C^{\prime }$，且 $O{C}^{\prime }=\sqrt{3}b$。 又直线 $BC$ 上各点可写为 $B+s(C-B)$（$s\in \mathbb{R}$），变换后恰为 $B+s(C^{\prime }-B)$，即整条直线 $B{C}^{\prime }$；这也直接说明变换保持本题的直线。 原直线与椭圆恰有一个公共点，双射使 $B{C}^{\prime }$ 与新圆也恰有一个公共点 $T$，故它是新圆的切线。 于是 $OT\perp B{C}^{\prime }$，$OT=b$，它是直角三角形 $OB{C}^{\prime }$ 斜边上的高。 由勾股定理，$B{C}^{\prime }=\sqrt{a^2+3b^2}$；用两种底高表示同一三角形面积，得

两边除以正数 $b/2$ 后平方，得 $3a^2=a^2+3b^2$，即 $3b^2=2a^2$。 因此 $\boxed{e=\sqrt{1-b^2/a^2}=\sqrt{3}/3}$，选 D。 这里坐标只核验题给椭圆在压缩下的像与双射，求轴比的核心是圆切线垂径、三角形面积和勾股定理； 没有调用额外仿射几何定理。