培玉 · 一试

专题地图 › 三角函数与解三角形

三角函数综合

从这里开始

从边角关系得到候选，再筛选三角形

辨认角与对边，保留补角或二次方程分支，用正边长、角和及退化边界筛选真正存在的三角形。

四题目标训练：先试一题 → 换条件应用 → 辨析条件差异 → 换题验证。

开始四题目标训练

从 F1 第一题开始随机来一道 F2

本专题核心公式速查

互动实验：单位圆与三角形中心

三角综合的关键常是先减少变量：把三角形角和、边角定理与恒等变换配合起来，再选择代数或函数方法。求值时未必需要解出每个角；求范围时则必须说明原式有定义、所有分支已检查、等号确能在原构型中实现。

1. 先修与破题直觉：三角综合先减少变量，再选方法。三角形中用 $C = π - A - B$ 消去一角；有界代换必须带上区间。例如令 $t = sin x \in [- 1, 1]$ ，则 $cos^{2} x + sin x = 1 + t - t^{2} = \frac{5}{4} - (t - \frac{1}{2})^{2}$ ，最大值 $\frac{5}{4}$ 在 $t = \frac{1}{2}$ 时取到，最小值 $- 1$ 在 $t = - 1$ 时取到。

2. 核心条件辨析：三角形中三个正弦恒正，余弦却未必为正；含正切的式子要先排除直角；用 $p sin x + q cos x \leq p^{2} + q^{2}$ 前，确认取等的方向落在允许的角内；半角代换 $t = tan \frac{A}{2}$ 要求 $t > 0$ ，并保留原式的分母限制。

3. 典型误区对比：先读角平分线长误用半角正弦、余切的“和等于积”误用到全角两组红绿卡，再做自测。凡用等面积法，先写出两侧面积各自用的是哪个角。

4. 方法迁移带练：把角平分线例换成 $A = 6 0^{\circ}$ 、 $b = 2$ 、 $c = 3$ ：由等面积法 $\frac{1}{2} b c sin A = \frac{1}{2} (b + c) l_{a} sin \frac{A}{2}$ ，左边为 $\frac{3 3}{2}$ ，右边为 $\frac{5}{4} l_{a}$ ，所以 $l_{a} = \frac{6 3}{5}$ ，与公式 $l_{a} = \frac{2 b c c o s ( A /2 )}{b + c}$ 一致。

5. 分级真题实战：先练“角和降元与三角恒等分解”和“正弦余弦定理与特殊线段”，再练“正切、余切与半角有理化”“有界三角量代换与配方”；之后进入“均值、柯西、凸凹性与等号审计”“单变量导数与退化边界”，最后挑战“平移对称与分半波计根”和“三角方程分支与目标式直接求值”。

先修（培玉高中数学）：诱导公式三角函数的图象与性质三角恒等变换平面向量的应用导数在研究函数中的应用

知识要点

角度范围先于恒等变形

三角形内角满足 $A, B, C > 0$ 、 $A + B + C = π$ ，所以三个正弦均为正，余弦却未必为正。原式含正切时还须排除直角，约分不能把原来无定义的位置补回。例如 $A = 12 0^{\circ}, B = C = 3 0^{\circ}$ 时， $sin A = 3 /2$ 而 $cos A = - 1/2$ ；从平方求余弦，必须保留这个负号。

和差化积把角和与角差分开

同时出现两角的和、差时，可用 $sin u + sin v = 2 sin \frac{u + v}{2} cos \frac{u - v}{2}$ ，以及 $sin^{2} u - sin^{2} v = sin (u + v) sin (u - v)$ 。三角形中再以第三角代替两角之和。例： $sin 7 5^{\circ} + sin 1 5^{\circ} = 2 sin 4 5^{\circ} cos 3 0^{\circ} = 6 /2$ 。约去半角因子前仍要检查它是否为零。

先统一成边或角：射影定理、特殊线段与定角定边极值

正弦定理为 $a / sin A = b / sin B = c / sin C = 2 R$ ；余弦定理为 $a^{2} = b^{2} + c^{2} - 2 b c cos A$ ；射影定理为 $a = b cos C + c cos B$ ；面积为 $S = \frac{1}{2} b c sin A$ 。遇边平方优先试余弦定理，遇边与正弦比值优先试正弦定理。例如夹角 $6 0^{\circ}$ 的两边为 $3, 4$ ，则对边为 $13$ ，面积为 $33$ ，两者来自同一夹角。若点 $D$ 分 $BC$ 为 $B D = m, D C = n$ （ $m + n = a$ ），由 $∠ A D B$ 与 $∠ A D C$ 余弦互为相反数可得斯特瓦尔特（Stewart）定理 $b^{2} m + c^{2} n = a (A D^{2} + mn)$ ，特例给出中线长 $m_{a} = \frac{1}{2} 2 b^{2} + 2 c^{2} - a^{2}$ 与内角平分线长 $l_{a} = \frac{2 b c cos ( A /2 )}{b + c}$ 。此外，当定角 $A$ 与对边 $a$ 固定时，由 $a^{2} = (b + c)^{2} - 2 b c (1 + cos A) \geq (b + c)^{2} sin^{2} \frac{A}{2}$ 立得邻边和与面积上界：

b + c \leq \frac{a}{sin ( A /2 )}, b c \leq \frac{a ^{2}}{4 sin ^{2} ( A /2 )}, S \leq \frac{a ^{2}}{4 tan ( A /2 )},

当且仅当 $b = c$ 时同时取等（若限锐角三角形，还须结合 $B, C \in (\frac{π}{2} - A, \frac{π}{2})$ 卡定严格下界）。

半角正切有理化与三角形正切、余切恒等式

令 $t = tan (A /2)$ ，对 $0 < A < π$ 有 $t > 0$ ，并且 $sin A = 2 t / (1 + t^{2})$ 、 $cos A = (1 - t^{2}) / (1 + t^{2})$ 。这样含正弦、余弦的分式可变成有理式，但原式的分母限制仍需保留。例如 $t = 1/2$ 时， $sin A = 4/5$ 、 $cos A = 3/5$ ；它对应锐角，而不能随意改取余弦负支。在 $A + B + C = π$ 下，全角与半角满足对偶的四条恒等式：① 全角正切（非直角）： $tan A + tan B + tan C = tan A tan B tan C$ ；② 全角余切： $cot A cot B + cot B cot C + cot C cot A = 1$ ；③ 半角正切： $tan \frac{A}{2} tan \frac{B}{2} + tan \frac{B}{2} tan \frac{C}{2} + tan \frac{C}{2} tan \frac{A}{2} = 1$ ；④ 半角余切： $cot \frac{A}{2} + cot \frac{B}{2} + cot \frac{C}{2} = cot \frac{A}{2} cot \frac{B}{2} cot \frac{C}{2}$ 。

三角代换同时携带可行区间

令 $t = cos x$ 时必须保留 $- 1 \leq t \leq 1$ ；令 $t = tan x$ 时还应记录角所在的区间和正切的分支。例如 $sin^{2} x + cos x = 1 + t - t^{2} = 5/4 - (t - 1/2)^{2}$ ，在 $[- 1, 1]$ 上的值域为 $[- 1, 5/4]$ 。不能把二次式在全实数上的结论直接当作原三角函数的值域。

幅值估计还要核对共同取等

由单位圆上的向量估计， $p sin x + q cos x \leq p^{2} + q^{2}$ 。例如 $3 sin x + 4 cos x \leq 5$ ，等号要求 $sin x = 3/5, cos x = 4/5$ 。若角度另有限制，应确认这个方向仍可取；若逐项估计多项，还要让各项的等号同时成立，不能把互不相容的上界相加后宣称达到。

单变量极值要查驻点和边界

把多角关系降到一角后，先写出完整区间，再求导或构造平方差。例如 $0 < θ < π$ 时， $h (θ) = sin θ / (2 - cos θ)$ 的导数为 $(2 cos θ - 1) / (2 - cos θ)^{2}$ ，故最大值在 $θ = π /3$ 取得，为 $1/ 3$ 。两端函数值趋于 $0$ 而不等于 $0$ ，所以值域为 $(0, 1/ 3]$ 。

零点按周期计数，分支逐个筛选

三角方程通常先给一族解，再由实际区间筛选，半开区间的端点不能重复计数。例如 $2 sin x = 1$ 在 $[0, 2 π)$ 中恰有 $x = π /6, 5 π /6$ 两根，根和为 $π$ 。与非周期函数相交时，周期性只能用于分段，不能保证各段根数相同；须再验证端点符号及每段的单调性。

方法卡

三角形里的三角等式：消去一角，写成乘积再分情况

三角形的三个角满足 $A + B + C = π$ ，所以只有两个是独立的。用这一点消去一个角，再用和角公式或和差化积把式子写成乘积。乘积为零时逐个因子讨论，约掉因子前先看它能否为零。

完整讲解 · 例题 · 可练 52 题

一、是什么

记号和三角形的角

在圆心为原点、半径为 $1$ 的圆上转动角 $x$ （ $π$ 表示 $18 0^{\circ}$ ），落点是 $(cos x, sin x)$ ，所以 $sin^{2} x + cos^{2} x = 1$ 。常用值： $sin 3 0^{\circ} = \frac{1}{2}$ ， $sin 6 0^{\circ} = cos 3 0^{\circ} = \frac{3}{2}$ ， $sin 4 5^{\circ} = \frac{2}{2}$ 。三角形的内角在 $(0, π)$ 内，所以正弦都为正，余弦可正可负，例如 $cos 12 0^{\circ} = - \frac{1}{2}$ 。

消去一角

把点沿竖轴翻折，角 $x$ 变成 $π - x$ ，横坐标变号，纵坐标不变，所以 $sin (π - x) = sin x$ ， $cos (π - x) = - cos x$ 。由 $C = π - (A + B)$ ，得 $sin C = sin (A + B)$ ， $cos C = - cos (A + B)$ 。半角也一样： $\frac{A + B}{2} = \frac{π}{2} - \frac{C}{2}$ ，所以 $sin \frac{A + B}{2} = cos \frac{C}{2}$ 。

和角公式

$sin (u + v) = sin u cos v + cos u sin v$ ， $cos (u + v) = cos u cos v - sin u sin v$ 。把 $v$ 换成 $- v$ ，得 $sin (u - v) = sin u cos v - cos u sin v$ 。取 $u = v$ ，得 $sin 2 u = 2 sin u cos u$ ， $cos 2 u = 1 - 2 sin^{2} u$ 。

和差化积

设 $u = p + q, v = p - q$ ，即 $p = \frac{u + v}{2}, q = \frac{u - v}{2}$ 。用和角公式把 $sin (p + q) + sin (p - q)$ 展开，交叉项抵消，得 $sin u + sin v = 2 sin \frac{u + v}{2} cos \frac{u - v}{2}$ 。同样得到 $sin u - sin v = 2 cos \frac{u + v}{2} sin \frac{u - v}{2}$ ， $cos u + cos v = 2 cos \frac{u + v}{2} cos \frac{u - v}{2}$ 。例如 $sin 7 5^{\circ} + sin 1 5^{\circ} = 2 sin 4 5^{\circ} cos 3 0^{\circ} = \frac{6}{2}$ 。这样就把角的和与差分开了。

正弦相等不一定角相等

一般的角， $sin x = sin y$ 不能推出 $x = y$ ，例如 $sin 3 0^{\circ} = sin 15 0^{\circ}$ 。三角形的两个内角可以推出： $sin A - sin B = 2 cos \frac{A + B}{2} sin \frac{A - B}{2}$ ，因为 $0 < A + B < π$ ，所以 $cos \frac{A + B}{2} > 0$ ，只能 $sin \frac{A - B}{2} = 0$ ，即 $A = B$ 。而 $sin 2 A = sin 2 B$ 就不同了，见例 1。

先看一道例题

例 1：判断三角形形状

三角形 $A BC$ 中， $sin 2 A = sin 2 B$ 。判断它的形状。

怎么看出来：

不能写成 $2 A = 2 B$ ，因为 $2 A, 2 B$ 的范围是 $(0, 2 π)$ ，正弦相等时角可以不等。移项后用和差化积写成乘积。

解：

$sin 2 A - sin 2 B = 2 cos (A + B) sin (A - B) = 0$ ，所以 $cos (A + B) = 0$ 或 $sin (A - B) = 0$ 。第一种： $0 < A + B < π$ ，只能 $A + B = \frac{π}{2}$ ，于是 $C = \frac{π}{2}$ 。第二种： $- π < A - B < π$ ，只能 $A = B$ 。检查： $A = 3 0^{\circ}, B = 6 0^{\circ}$ 时 $sin 6 0^{\circ} = sin 12 0^{\circ}$ ； $A = B = 5 0^{\circ}$ 时两边都是 $sin 10 0^{\circ}$ 。两种情况都不能漏。

答案：

等腰三角形（ $A = B$ ）或直角三角形（ $C = 9 0^{\circ}$ ）。

二、什么时候想到它

题目里看到	应该想到
条件含三角形的几个角，如 $sin C = 2 sin A cos B$	把 $C$ 换成 $π - (A + B)$ ，用和角公式展开
$sin A \pm sin B$ 、 $cos A \pm cos B$	和差化积，把角的和换成第三个角
$sin 2 A = sin 2 B$ 或一个等式两边有公因子	移项写成乘积，每个因子分别讨论，不要直接约
$\frac{A + B}{2}$ 这样的半角和	写成 $\frac{π}{2} - \frac{C}{2}$
含 $cos x, sin x, cos 2 x, sin 2 x$ 的恒成立不等式	比较 $x$ 和 $x + π$ （见进阶“相差 π 比较”）
$sin x + cos y$ 和 $cos x + sin y$ 成对出现	平方相加（见进阶“平方相加”）
边和正弦、余弦混在一个等式里	用正弦定理把边换成正弦（见进阶“边角互换”）
$sin A cos B + sin B cos C + sin C cos A$	积化和差，拆成两部分（见进阶“循环式”）

三、怎么用

写下角的范围。三角形 $A BC$ 中 $sin C = 2 sin A cos B$ ，有 $0 < A, B, C < π$ ， $A + B + C = π$ 。
消去一角。 $sin C = sin (A + B)$ ，所以 $sin (A + B) = 2 sin A cos B$ 。
用公式展开并整理成乘积或单个三角函数。 $sin A cos B + cos A sin B = 2 sin A cos B$ ，移项得 $sin A cos B - cos A sin B = 0$ ，即 $sin (A - B) = 0$ 。
用角的范围定下结论。 $- π < A - B < π$ ，这个范围内正弦为 $0$ 只有 $A - B = 0$ ，所以 $A = B$ 。
代回检查。 $A = B$ 时 $sin C = sin 2 A = 2 sin A cos A = 2 sin A cos B$ ，成立。

四、再做一道

例 2：已知一角求范围

三角形 $A BC$ 中 $C = 6 0^{\circ}$ 。求 $sin A + sin B$ 的取值范围。

怎么看出来：

两个正弦的和，用和差化积。 $A + B$ 已经确定，只剩下 $A - B$ 可以变。

解：

$A + B = 12 0^{\circ}$ ，所以 $sin A + sin B = 2 sin 6 0^{\circ} cos \frac{A - B}{2} = 3 cos \frac{A - B}{2}$ 。由 $A, B > 0$ 得 $- 12 0^{\circ} < A - B < 12 0^{\circ}$ ，所以 $\frac{A - B}{2}$ 在 $(- 6 0^{\circ}, 6 0^{\circ})$ 内。在单位圆上，角从 $0^{\circ}$ 增大到 $6 0^{\circ}$ 时，落点的横坐标从 $1$ 连续减小到 $\frac{1}{2}$ ；负角的落点与对应正角关于横轴对称，横坐标相同，余弦值也相同。所以 $cos \frac{A - B}{2}$ 取遍 $(\frac{1}{2}, 1]$ 。 $A = B = 6 0^{\circ}$ 时取到 $1$ ； $\frac{1}{2}$ 对应 $A = 0$ 或 $B = 0$ ，不是三角形，取不到。再乘以 $3$ 。

答案：

$(\frac{3}{2}, 3]$ 。

五、容易错在哪

$sin A = sin B$ 能推出 $A = B$ ，靠的是 $A, B$ 是同一个三角形的内角。 $sin 2 A = sin 2 B$ 或一般的角就不能这样推。
约掉一个因子之前，先讨论它等于零的情况，否则会丢掉一种形状。
循环式不是对称式，不能默认三个角相等时取到最值，也不能随意交换字母。
目标是平方时，只估计上界不够，负的一侧也要控制。
三角形的余弦可以为负，由 $sin^{2}$ 求余弦时要看角的范围。

进阶：边角互换 · 先修：正弦定理

边和角互换：正弦定理

三角形 $A BC$ 的外接圆半径为 $R$ ，边 $a, b, c$ 分别对着角 $A, B, C$ ，则 $a = 2 R sin A$ ， $b = 2 R sin B$ ， $c = 2 R sin C$ 。所以边的齐次式可以换成正弦。例如 $a cos B = b cos A$ 变为 $sin A cos B - cos A sin B = 0$ ，即 $sin (A - B) = 0$ ，所以 $A = B$ 。

进阶：相差 π 比较 · 先修：和角公式

合成一个三角函数

$a, b$ 不全为零时， $a cos x + b sin x = R cos (x - φ)$ ，其中 $R = a^{2} + b^{2}$ ， $cos φ = \frac{a}{R}$ ， $sin φ = \frac{b}{R}$ 。用和角公式展开右边就能核对。它的最小值是 $- R$ ，最大值是 $R$ 。如果 $a cos x + b sin x = 0$ 对所有 $x$ 成立，取 $x = 0$ 和 $x = \frac{π}{2}$ ，得 $a = b = 0$ 。

相差 $π$ 比较：分开一次项和二次项

$sin (x + π) = - sin x$ ， $cos (x + π) = - cos x$ ，而 $sin 2 (x + π) = sin 2 x$ ， $cos 2 (x + π) = cos 2 x$ 。所以恒成立的不等式在 $x$ 和 $x + π$ 处都写出来再相加，一次项就消掉了，只剩二次项。取 $x = \pm \frac{π}{4}$ 这样使 $cos 2 x = 0$ 的点，又能让 $cos 2 x$ 的项消失。

例 3：恒成立不等式求系数的最大值

实数 $a, c$ 使 $a sin x + c cos 2 x \leq 1$ 对所有实数 $x$ 成立。求 $∣ a ∣$ 的最大值。

怎么看出来：

要去掉 $c$ ，就取 $cos 2 x = 0$ 的点。 $x = \pm \frac{π}{4}$ 时一次项分别是 $\pm \frac{a}{2}$ ，正好得到两个方向。

解：

取 $x = \frac{π}{4}$ ，得 $\frac{a}{2} \leq 1$ ；取 $x = - \frac{π}{4}$ ，得 $- \frac{a}{2} \leq 1$ 。所以 $∣ a ∣ \leq 2$ 。这只是上界，还要看能否取到。取 $a = 2, c = \frac{1}{2}$ ，设 $s = sin x$ ，由 $cos 2 x = 1 - 2 s^{2}$ ，左边等于 $2 s + \frac{1}{2} - s^{2} = 1 - (s - \frac{2}{2})^{2} \leq 1$ ，满足条件。另外， $x$ 换成 $x + π$ 后相加，还能得到 $c cos 2 x \leq 1$ ，即 $∣ c ∣ \leq 1$ ，这里的 $c = \frac{1}{2}$ 不矛盾。

答案：

$∣ a ∣$ 的最大值是 $2$ 。

进阶：平方相加 · 先修：和角公式

平方相加：换成角的和或差

$(cos x + cos y)^{2} + (sin x + sin y)^{2} = 2 + 2 cos (x - y)$ ，因为交叉项是 $2 (cos x cos y + sin x sin y)$ 。把 $y$ 换成 $\frac{π}{2} - y$ ，得 $(cos x + sin y)^{2} + (sin x + cos y)^{2} = 2 + 2 sin (x + y)$ 。平方后符号信息丢失，所以由它求最大值时要代回，确认取到的值是正的。

例 4：平方相加求角差

实数 $x, y$ 满足 $cos x + cos y = 1$ ， $sin x + sin y = 1$ 。求 $cos (x - y)$ 。

怎么看出来：

两式形状成对，平方相加后交叉项正好是 $cos (x - y)$ 。

解：

平方相加： $(cos x + cos y)^{2} + (sin x + sin y)^{2} = 2 + 2 (cos x cos y + sin x sin y) = 2 + 2 cos (x - y)$ 。左边是 $1 + 1 = 2$ ，所以 $cos (x - y) = 0$ 。检查： $x = 0, y = \frac{π}{2}$ 时 $cos 0 + cos \frac{π}{2} = 1$ ， $sin 0 + sin \frac{π}{2} = 1$ ， $cos (- \frac{π}{2}) = 0$ 。

答案：

$cos (x - y) = 0$ 。

进阶：余弦平方和 · 先修：和差化积

三角形的余弦平方和

对任意三角形， $cos^{2} A + cos^{2} B + cos^{2} C + 2 cos A cos B cos C = 1$ 。推导： $cos^{2} A + cos^{2} B = 1 + \frac{cos 2 A + cos 2 B}{2} = 1 + cos (A + B) cos (A - B) = 1 - cos C cos (A - B)$ 。又 $cos^{2} C = - cos C cos (A + B)$ 。相加得 $1 - cos C (cos (A - B) + cos (A + B)) = 1 - 2 cos A cos B cos C$ 。

例 5：余弦平方和判形状

三角形 $A BC$ 中 $cos^{2} A + cos^{2} B + cos^{2} C = 1$ 。证明它是直角三角形。

怎么看出来：

条件正好是余弦平方和恒等式的一部分，比较后只剩余弦的乘积。

解：

由恒等式 $cos^{2} A + cos^{2} B + cos^{2} C + 2 cos A cos B cos C = 1$ ，减去条件得 $2 cos A cos B cos C = 0$ 。所以有一个余弦为 $0$ 。内角在 $(0, π)$ 内，余弦为 $0$ 只有 $\frac{π}{2}$ ，所以有一个角是直角。检查： $3 0^{\circ}, 6 0^{\circ}, 9 0^{\circ}$ 时 $\frac{3}{4} + \frac{1}{4} + 0 = 1$ 。

答案：

有一个内角是直角。

进阶：循环式 · 先修：和差化积

循环式：拆成对称部分和角差部分

$sin A cos B = \frac{sin ( A + B ) + sin ( A - B )}{2}$ ，这叫积化和差，由和角公式相加得到。循环式 $F = sin A cos B + sin B cos C + sin C cos A$ 在三角形中等于 $\frac{1}{2} (sin A + sin B + sin C)$ 加上 $\frac{1}{2} (sin (A - B) + sin (B - C) + sin (C - A))$ 。循环式不是完全对称的： $(A, B, C) = (9 0^{\circ}, 6 0^{\circ}, 3 0^{\circ})$ 时 $F = \frac{5}{4}$ ，交换前两个角后 $F = \frac{1}{4} + \frac{3}{2}$ 。记反向循环式 $G = sin A cos C + sin C cos B + sin B cos A$ ，两式相加并用和角公式，得 $F + G = sin A + sin B + sin C > 0$ ，所以 $- F < G$ 。所以为求 $F$ 的下界，可以先求 $G$ 的上界。

真题

按这个方法练 · 52 题

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边和角混在一起：用正弦、余弦定理统一成一种

记 $a = BC, b = C A, c = A B$ 。边的比等于对角正弦的比，余弦定理把一个角的余弦写成三条边。按目标统一成全是边或全是角，题目就成了代数题。

完整讲解 · 例题 · 可练 62 题

一、是什么

记号和面积公式

$sin$ 、 $cos$ 是单位圆上转过角度后的纵坐标、横坐标， $sin^{2} A + cos^{2} A = 1$ ；三角形的内角在 $(0, π)$ 内，所以 $sin A > 0$ 。关于纵轴翻折， $sin (π - x) = sin x$ ， $cos (π - x) = - cos x$ ，所以 $cos 12 0^{\circ} = - cos 6 0^{\circ} = - \frac{1}{2}$ ， $sin 12 0^{\circ} = sin 6 0^{\circ} = \frac{3}{2}$ 。从 $A$ 向直线 $BC$ 作高，高是 $b sin C$ （ $C$ 为钝角时也成立，因为 $sin (π - C) = sin C$ ）。所以面积 $S = \frac{1}{2} ab sin C$ ，同样 $S = \frac{1}{2} b c sin A = \frac{1}{2} c a sin B$ 。

正弦定理：边和对角成比例

由面积的三种写法， $b c sin A = c a sin B = ab sin C$ ，都除以 $ab c$ ，得 $\frac{sin A}{a} = \frac{sin B}{b} = \frac{sin C}{c}$ ，也就是 $a : b : c = sin A : sin B : sin C$ 。例如 $A = 3 0^{\circ}, B = 9 0^{\circ}$ ， $sin A : sin B = 1 : 2$ ，这正是 $3 0^{\circ}$ 直角三角形中两条边的比。这个比值还有几何意义： $\frac{a}{sin A} = 2 R$ ， $R$ 是外接圆半径。过 $B$ 作直径 $B D$ ，在直角三角形 $BC D$ 中 $a = 2 R sin D$ ，而 $D = A$ 或 $π - A$ ，正弦相同。

余弦定理：两边和夹角求第三边

把 $C$ 放在原点， $A = (b, 0)$ ， $B = (a cos C, a sin C)$ 。距离公式给出 $c^{2} = (a cos C - b)^{2} + a^{2} sin^{2} C = a^{2} + b^{2} - 2 ab cos C$ 。所以 $cos C = \frac{a ^{2} + b ^{2} - c ^{2}}{2 ab}$ 。 $C = 9 0^{\circ}$ 时就是勾股定理。它的正负决定角的类型： $a^{2} + b^{2} > c^{2}$ 时 $C$ 是锐角，相等时是直角，小于时是钝角。

三条边的限制

任意两边之和大于第三边，且不能相等，相等就压成一条线段。不是任何一组正数都能作三角形的边： $1, 2, 3$ 就不行。

先看一道例题

例 1：先余弦，后正弦

$△ A BC$ 中， $b = 3, c = 5, A = 12 0^{\circ}$ 。求 $a$ 和 $sin B$ 。

怎么看出来：

已知两边和夹角，先用余弦定理求第三边，然后边和角就都有了，再用正弦定理。

解：

$cos 12 0^{\circ} = - \frac{1}{2}$ ， $sin 12 0^{\circ} = \frac{3}{2}$ 。 $a^{2} = 9 + 25 - 2 \cdot 3 \cdot 5 \cdot (- \frac{1}{2}) = 49$ ， $a = 7$ 。由 $\frac{sin B}{b} = \frac{sin A}{a}$ ， $sin B = \frac{3}{7} \cdot \frac{3}{2} = \frac{3 3}{14}$ 。检查： $A$ 是钝角， $B$ 是锐角； $cos B = \frac{a ^{2} + c ^{2} - b ^{2}}{2 a c} = \frac{49 + 25 - 9}{70} = \frac{13}{14}$ ， $sin^{2} B + cos^{2} B = \frac{27 + 169}{196} = 1$ ，成立。

答案：

$a = 7$ ， $sin B = \frac{3 3}{14}$ 。

二、什么时候想到它

题目里看到	应该想到
两边和夹角，求第三边	余弦定理
两边和一个对角，或要求边的比	正弦定理
等式里既有边又有角，如 $a cos B = b cos A$	全换成边，或全换成角
三条边都是字母或代数式	先写三角形不等式，再看最大边对的角（见进阶“三边的限制”）
出现中线或角平分线的长度	用斯特瓦尔特式或面积拆分（见进阶“凑余弦定理和特殊线段”）
已知一个角，求边的比或和的范围	边化角，写全所有角的限制（见进阶“边化角求范围”）

三、怎么用

标清对应关系：边 $a$ 对角 $A$ 。例如 $△ A BC$ 中 $b = 2, c = 3, A = 6 0^{\circ}$ 。
看已知和目标，选定理。这里已知两边和夹角，求 $a$ ，用余弦定理： $a^{2} = 4 + 9 - 2 \cdot 2 \cdot 3 \cdot \frac{1}{2} = 7$ 。
统一后解代数方程。 $a = 7$ ，取正根。
查三角形条件。 $7 \approx 2.65$ ， $2 + 7 > 3$ ， $3 + 7 > 2$ ， $2 + 3 > 7$ ，符合。

四、再做一道

例 2：把角换成边，判断形状

$△ A BC$ 中 $a cos B = b cos A$ ，判断它的形状。

怎么看出来：

两边都是“边乘余弦”，把余弦换成边，分母能约。

解：

$cos B = \frac{a ^{2} + c ^{2} - b ^{2}}{2 a c}$ ， $cos A = \frac{b ^{2} + c ^{2} - a ^{2}}{2 b c}$ 。代入得 $\frac{a ^{2} + c ^{2} - b ^{2}}{2 c} = \frac{b ^{2} + c ^{2} - a ^{2}}{2 c}$ 。 $c > 0$ ，两边乘 $2 c$ ， $a^{2} + c^{2} - b^{2} = b^{2} + c^{2} - a^{2}$ ，即 $a^{2} = b^{2}$ 。 $a, b > 0$ ，所以 $a = b$ 。反过来 $a = b$ 时 $A = B$ ，等式成立。这个条件对 $C$ 没有限制，所以只能说等腰，不一定等边，也不一定是直角。

答案：

等腰三角形（ $a = b$ ）。

五、容易错在哪

正弦定理的边和角要对应： $a$ 对 $A$ ，不能错位。
中线公式和角平分线公式不要混用；斯特瓦尔特式里边的平方和底边小段不要对调，可以把点移到端点核对。
把一个边比当成任意正数是错的，三角形不等式要写。
由正弦定理求角时， $sin B$ 对应两个角。如果已知 $a > b$ ，那么 $A > B$ ， $B$ 只能是锐角。
含“ $\pm$ ”的余弦要分两种情况，都代回检查。

进阶：凑余弦定理和特殊线段 · 先修：二倍角公式

把条件凑成余弦定理

边的二次式常常能凑出 $b^{2} + c^{2} - a^{2}$ 。例如 $(a + b) (a - b) = c (c + b)$ ，展开得 $a^{2} - b^{2} = c^{2} + b c$ ，即 $b^{2} + c^{2} - a^{2} = - b c$ ，所以 $cos A = - \frac{1}{2}$ ， $A = 12 0^{\circ}$ 。四次式可以试着凑平方：若条件能整理成 $(a^{2} + b^{2} - c^{2})^{2} = k a^{2} b^{2}$ （ $0 \leq k < 4$ ），由余弦定理得 $4 cos^{2} C = k$ ， $cos C = \pm \frac{k}{2}$ ， $k > 0$ 时两个值都要看。

斯特瓦尔特式：连到底边一点的线段

设 $D$ 在 $BC$ 上， $B D = m, D C = n, m + n = a$ 。在三角形 $A B D$ 、 $A C D$ 中对互补的两个角用余弦定理，消去余弦，得 $b^{2} m + c^{2} n = a (A D^{2} + mn)$ 。注意 $b$ 配 $m$ ， $c$ 配 $n$ ，不要对调。可以把 $D$ 移到端点核对： $D = B$ 时 $m = 0, n = a, A D = c$ ，两边都是 $a c^{2}$ 。例如 $A B = 3, A C = 6, BC = 6, B D = 2, D C = 4$ ： $36 \cdot 2 + 9 \cdot 4 = 6 (A D^{2} + 8)$ ，得 $A D = 10$ 。

中线和角平分线

中线： $m = n = \frac{a}{2}$ ，代入得 $A D^{2} = \frac{2 b ^{2} + 2 c ^{2} - a ^{2}}{4}$ 。角平分线：设它长 $l$ ，大三角形的面积等于两个小三角形的面积之和， $\frac{1}{2} b c sin A = \frac{1}{2} b l sin \frac{A}{2} + \frac{1}{2} c l sin \frac{A}{2}$ ，用 $sin A = 2 sin \frac{A}{2} cos \frac{A}{2}$ ，得 $l = \frac{2 b c cos \frac{A}{2}}{b + c}$ 。例如 $b = 3, c = 4, A = 6 0^{\circ}$ 时， $a = 13$ ，中线长 $\frac{37}{2}$ ，角平分线长 $\frac{12 3}{7}$ 。

例 3：由中线求边和面积

$△ A BC$ 中， $A B = 5, A C = 7$ ， $BC$ 边上的中线 $A D = 21$ 。求 $BC$ 和面积。

怎么看出来：

中线公式里只有 $a$ 不知道。求出 $a$ 后，用余弦定理得 $A$ ，再用面积公式。

解：

$b = 7, c = 5$ ，由 $4 A D^{2} = 2 b^{2} + 2 c^{2} - a^{2}$ ： $84 = 98 + 50 - a^{2}$ ， $a^{2} = 64$ ， $a = 8$ 。 $5 + 7 > 8$ ， $5 + 8 > 7$ ， $7 + 8 > 5$ ，三角形存在。 $cos A = \frac{49 + 25 - 64}{2 \cdot 7 \cdot 5} = \frac{1}{7}$ ， $sin A = 1 - \frac{1}{49} = \frac{4 3}{7}$ 。 $S = \frac{1}{2} \cdot 7 \cdot 5 \cdot \frac{4 3}{7} = 103$ 。

答案：

$BC = 8$ ，面积 $103$ 。

进阶：半角的高次和 · 先修：二倍角公式

半角的高次和

设 $u = sin^{2} \frac{A}{2}, v = cos^{2} \frac{A}{2}$ ，则 $u + v = 1$ ， $uv = \frac{1}{4} sin^{2} A$ 。所以 $u^{3} + v^{3} = (u + v)^{3} - 3 uv (u + v) = 1 - \frac{3}{4} sin^{2} A$ 。先用余弦定理求 $cos A$ ，就能算。核对 $A = 6 0^{\circ}$ ： $u = \frac{1}{4}, v = \frac{3}{4}$ ，直接算 $\frac{1}{64} + \frac{27}{64} = \frac{7}{16}$ ，公式给 $1 - \frac{3}{4} \cdot \frac{3}{4} = \frac{7}{16}$ 。

进阶：边化角求范围 · 先修：和角公式

边化角求范围

目标是边的比或和，又知道角的限制时，用正弦定理把边换成角。例如锐角三角形中 $A = \frac{π}{3}$ ： $B < \frac{π}{2}$ ， $C = \frac{2 π}{3} - B < \frac{π}{2}$ ，所以 $\frac{π}{6} < B < \frac{π}{2}$ 。这两个限制都不能丢。

例 4：锐角条件下边的比

锐角三角形 $A BC$ 中 $A = \frac{π}{3}$ ，求 $\frac{b}{c}$ 的取值范围。

怎么看出来：

边的比换成角的比，只剩 $B$ 一个变量； $B$ 的范围由另外两个角都是锐角决定。

解：

$\frac{π}{6} < B < \frac{π}{2}$ 。 $\frac{b}{c} = \frac{sin B}{sin ( \frac{2 π}{3} - B )} = \frac{sin B}{\frac{3}{2} cos B + \frac{1}{2} sin B}$ 。分子分母除以 $cos B > 0$ ，设 $t = tan B$ ，得 $\frac{2 t}{3 + t} = 2 - \frac{2 3}{3 + t}$ 。 $B$ 在这段上时， $t$ 从 $\frac{3}{3}$ 增大到无穷大（取不到两端），式子随 $t$ 严格增大。 $t = \frac{3}{3}$ 时值为 $2 - \frac{2 3}{4 3 /3} = \frac{1}{2}$ ， $t$ 很大时接近 $2$ 。 $t$ 连续变化，中间的值都能取到。

答案：

$\frac{1}{2} < \frac{b}{c} < 2$ 。

进阶：三边的限制

例 5：三边是连续式

三边长分别是 $x, x + 1, x + 2$ ，且三角形是锐角三角形。求 $x$ 的范围。

怎么看出来：

先要能构成三角形。锐角只需看最大的角，也就是最长边 $x + 2$ 所对的角。

解：

$x > 0$ 。最长边是 $x + 2$ ，构成三角形要 $x + (x + 1) > x + 2$ ，得 $x > 1$ 。最大角是锐角，就是 $x^{2} + (x + 1)^{2} > (x + 2)^{2}$ ，展开整理得 $x^{2} - 2 x - 3 > 0$ ，即 $(x - 3) (x + 1) > 0$ 。 $x > 1$ 时 $x + 1 > 0$ ，所以 $x > 3$ 。检查： $x = 3$ 时三边 $3, 4, 5$ 是直角三角形，不能取； $x = 4$ 时 $16 + 25 = 41 > 36$ ，符合。

答案：

$x > 3$ 。

真题

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含正切的分式和半角：用和角公式合并，或设半角正切化成有理式

分子分母像 $\frac{1 + tan x}{1 - tan x}$ 这样成对时，用正切和角公式合并。正弦和余弦混在一起时，设 $t = tan \frac{θ}{2}$ ，把它们变成 $t$ 的分式。这个设法表示不了 $θ = π$ ，要单独试。

完整讲解 · 例题 · 可练 24 题

一、是什么

记号：正切和特殊值

在圆心为原点、半径为 $1$ 的圆上转动角 $x$ （ $π$ 表示 $18 0^{\circ}$ ），落点是 $(cos x, sin x)$ ，所以 $sin^{2} x + cos^{2} x = 1$ 。 $tan x = \frac{sin x}{cos x}$ （ $cos x \neq = 0$ ）， $cot x = \frac{cos x}{sin x}$ （ $sin x \neq = 0$ ）。常用值： $tan 3 0^{\circ} = \frac{3}{3}$ ， $tan 4 5^{\circ} = 1$ ， $tan 6 0^{\circ} = 3$ 。再转半圈，落点关于原点对称，坐标都变号，所以 $tan (x + π) = tan x$ 。因此 $tan A = tan B$ 只能说明 $A - B = kπ$ （ $k$ 为整数），不能直接说 $A = B$ 。如果已知 $A, B$ 都在 $(0, π)$ 内，差的绝对值小于 $π$ ，才有 $A = B$ 。

正切的和角公式

基本公式是 $sin (A + B) = sin A cos B + cos A sin B$ ， $cos (A + B) = cos A cos B - sin A sin B$ 。两式相除，上下同除 $cos A cos B$ ，得 $tan (A + B) = \frac{tan A + tan B}{1 - tan A tan B}$ ；把 $B$ 换成 $- B$ ，得 $tan (A - B) = \frac{tan A - tan B}{1 + tan A tan B}$ 。使用时 $cos A, cos B$ 和所求角的余弦都不能为零。例如 $tan 7 5^{\circ} = tan (4 5^{\circ} + 3 0^{\circ}) = \frac{1 + \frac{3}{3}}{1 - \frac{3}{3}} = 2 + 3$ 。取 $B = 4 5^{\circ}$ 就是常见形状： $\frac{1 + tan x}{1 - tan x} = tan (x + \frac{π}{4})$ ，要求 $cos x \neq = 0, tan x \neq = 1$ 。

旋转结构

看 $\frac{x sin θ + y cos θ}{x cos θ - y sin θ}$ ，其中 $x \neq = 0, cos θ \neq = 0$ 。上下同除 $x cos θ$ ，得 $\frac{tan θ + \frac{y}{x}}{1 - tan θ \cdot \frac{y}{x}}$ 。设角 $φ$ 满足 $tan φ = \frac{y}{x}$ ，这个式子就是 $tan (θ + φ)$ ，分母要不为零。例如 $x = y$ 时， $\frac{sin θ + cos θ}{cos θ - sin θ} = tan (θ + \frac{π}{4})$ 。

半角正切：把正弦和余弦写成一个分式

在和角公式中取 $A = B$ 得 $sin 2 u = 2 sin u cos u$ ， $cos 2 u = cos^{2} u - sin^{2} u$ 。令 $u = \frac{θ}{2}$ ，并在分母补上 $1 = sin^{2} u + cos^{2} u$ 。当 $cos \frac{θ}{2} \neq = 0$ 时上下同除 $cos^{2} \frac{θ}{2}$ ，设 $t = tan \frac{θ}{2}$ ，得 $sin θ = \frac{2 t}{1 + t ^{2}}$ ， $cos θ = \frac{1 - t ^{2}}{1 + t ^{2}}$ ； $cos θ \neq = 0$ 即 $t \neq = \pm 1$ 时， $tan θ = \frac{2 t}{1 - t ^{2}}$ 。取 $t = 2$ ： $sin θ = \frac{4}{5}, cos θ = - \frac{3}{5}, tan θ = - \frac{4}{3}$ ，平方和 $\frac{16 + 9}{25} = 1$ ，正确。

这个设法漏掉 $θ = π$

$cos \frac{θ}{2} = 0$ 时 $θ = π + 2 kπ$ ，这时 $t$ 没有定义。所以设 $t$ 之前要单独试这个角。解 $sin θ + cos θ = - 1$ ， $θ \in [0, 2 π)$ ：代入 $t$ 并乘 $1 + t^{2}$ ，得 $2 t + 1 - t^{2} = - 1 - t^{2}$ ，所以 $t = - 1$ ，即 $θ = \frac{3 π}{2}$ 。但 $θ = π$ 也满足： $0 + (- 1) = - 1$ 。只用 $t$ 会丢掉它，答案是 $θ = π$ 或 $\frac{3 π}{2}$ 。

先看一道例题

例 1：设半角正切解方程

解方程 $sin θ + 2 cos θ = 2$ ，其中 $θ \in [0, 2 π)$ 。

怎么看出来：

正弦和余弦的一次式等于常数，设半角正切后是 $t$ 的二次方程。

解：

先试 $θ = π$ ：左边 $0 - 2 = - 2 \neq = 2$ ，不是解。其余情况设 $t = tan \frac{θ}{2}$ ，代入并乘 $1 + t^{2}$ ： $2 t + 2 (1 - t^{2}) = 2 (1 + t^{2})$ ，整理得 $4 t^{2} - 2 t = 0$ ，所以 $t = 0$ 或 $t = \frac{1}{2}$ 。 $\frac{θ}{2} \in [0, π)$ 上正切每个值只对应一个角。 $t = 0$ 得 $θ = 0$ 。 $t = \frac{1}{2}$ 时， $sin θ = \frac{1}{1 + \frac{1}{4}} = \frac{4}{5}$ ， $cos θ = \frac{1 - \frac{1}{4}}{1 + \frac{1}{4}} = \frac{3}{5}$ 。检查： $θ = 0$ 时 $0 + 2 = 2$ ；第二个角 $\frac{4}{5} + \frac{6}{5} = 2$ 。

答案：

$θ = 0$ ，或 $sin θ = \frac{4}{5}, cos θ = \frac{3}{5}$ 的那个锐角。

二、什么时候想到它

题目里看到	应该想到
$sin θ, cos θ$ 同时出现，直接消不掉，如 $sin θ + 2 cos θ = 2$	设 $t = tan \frac{θ}{2}$ ，并单独试 $θ = π$
分式形如 $\frac{1 + tan x}{1 - tan x}$ 或 $\frac{x sin θ + y cos θ}{x cos θ - y sin θ}$	认出正切和角公式，合并成一个角
已知 $tan x$ ，要求 $sin 2 x, cos 2 x, tan 2 x$	把 $θ = 2 x$ 看成全角， $t = tan x$ 代半角公式
三角形中给了正切的和或积	用全角和积式（见进阶“三角形里的正切和余切恒等式”）
给了三个半角余切 $cot \frac{A}{2}$ 的关系	用 $x + y + z = x yz$ ，不要用全角的式子（见同一进阶）
$t$ 的分式， $θ \in (0, π)$ ，求最大值	$t > 0$ ，上下同除 $t$ 后用均值（见进阶“均值不等式求最值”）
$a + c = kb$ 这样的边比，或要 $tan \frac{A}{2} tan \frac{C}{2}$	边换成角，再变成半角（见进阶“边与半角”）

三、怎么用

写清角的范围，单独试不能设 $t$ 的角。例如解 $sin θ + cos θ = 1$ ， $θ \in [0, 2 π)$ ：先试 $θ = π$ ，左边 $- 1 \neq = 1$ ，不是解。
设 $t = tan \frac{θ}{2}$ ，代入半角公式： $\frac{2 t}{1 + t ^{2}} + \frac{1 - t ^{2}}{1 + t ^{2}} = 1$ 。
两边乘正数 $1 + t^{2}$ ，化成 $t$ 的整式方程并求解： $2 t + 1 - t^{2} = 1 + t^{2}$ ，即 $2 t (1 - t) = 0$ ，所以 $t = 0$ 或 $t = 1$ 。
回到角： $\frac{θ}{2} \in [0, π)$ 上正切每个值只对应一个角。 $t = 0$ 得 $θ = 0$ ， $t = 1$ 得 $\frac{θ}{2} = \frac{π}{4}$ ， $θ = \frac{π}{2}$ 。
代回原式检查： $sin 0 + cos 0 = 1$ ， $sin \frac{π}{2} + cos \frac{π}{2} = 1$ ，都成立。

四、再做一道

例 2：认出和角结构

已知 $\frac{1 + tan x}{1 - tan x} = 2$ ，求 $tan x$ 、 $tan 2 x$ 和 $sin 2 x$ 。

怎么看出来：

左边是 $tan (x + \frac{π}{4})$ 的形状；求出 $tan x$ 后， $2 x$ 的值用半角公式，这里半角就是 $x$ 。

解：

设 $t = tan x$ ，条件要求 $t \neq = 1$ 。两边乘 $1 - t$ ： $1 + t = 2 - 2 t$ ，所以 $t = \frac{1}{3}$ 。也可以用和角结构核对： $tan (x + \frac{π}{4}) = 2$ ，所以 $tan x = tan ((x + \frac{π}{4}) - \frac{π}{4}) = \frac{2 - 1}{1 + 2} = \frac{1}{3}$ ，一致。 $t \neq = \pm 1$ ，把 $θ = 2 x$ 代入半角公式： $tan 2 x = \frac{2 t}{1 - t ^{2}} = \frac{2/3}{8/9} = \frac{3}{4}$ ， $sin 2 x = \frac{2 t}{1 + t ^{2}} = \frac{2/3}{10/9} = \frac{3}{5}$ 。检查： $cos 2 x = \frac{1 - t ^{2}}{1 + t ^{2}} = \frac{4}{5}$ ，所以 $\frac{sin 2 x}{cos 2 x} = \frac{3}{4}$ ，且平方和为 $1$ 。

答案：

$tan x = \frac{1}{3}$ ， $tan 2 x = \frac{3}{4}$ ， $sin 2 x = \frac{3}{5}$ 。

五、容易错在哪

全角和半角的恒等式不同：全角余切是 $cot A cot B + cot B cot C + cot C cot A = 1$ ，半角余切是和等于积。
$tan A = tan B$ 只说明 $A - B$ 是 $π$ 的整数倍，要结合角的范围才能说两角相等。
设 $t = tan \frac{θ}{2}$ 会漏掉 $θ = π + 2 kπ$ ，它可能真的是解，所以要单独代入原式。
化成 $t$ 的有理式后，原来的分母和范围还要保留。解出的 $t$ 要回到原式检查。
用均值前要确认两个量都为正，并验证等号能取到。取不到时，那个下界不是最小值。

进阶：三角形里的正切和余切恒等式 · 先修：本卡基础部分

全角正切和余切

三角形中 $C = π - (A + B)$ ，所以 $tan C = - tan (A + B)$ 。非直角三角形里代入和角公式并整理，得 $tan A + tan B + tan C = tan A tan B tan C$ 。对任意三角形（直角也可以，此时直角的余切为 $0$ ），有 $cot A cot B + cot B cot C + cot C cot A = 1$ 。在非直角时，把上面的和积式两边除以 $tan A tan B tan C$ 就得到它；若 $C$ 是直角， $A, B$ 互余， $cot A cot B = 1$ ，也成立。

半角余切

$\frac{A}{2} + \frac{B}{2} + \frac{C}{2} = \frac{π}{2}$ ，三个半角都是锐角，所以 $p = tan \frac{A}{2}, q = tan \frac{B}{2}, r = tan \frac{C}{2}$ 都是正数。由 $tan \frac{C}{2} = \frac{1}{tan \frac{A + B}{2}} = \frac{1 - pq}{p + q}$ ，得 $pq + q r + r p = 1$ 。设 $x = cot \frac{A}{2} = \frac{1}{p}$ ， $y = cot \frac{B}{2}$ ， $z = cot \frac{C}{2}$ ，两边除以 $pq r$ ，得 $x + y + z = x yz$ 。所以全角余切是“两两之积的和为 $1$ ”，半角余切是“和等于积”，两者不能混用。还有 $cos C = \frac{1 - r ^{2}}{1 + r ^{2}} = \frac{z ^{2} - 1}{z ^{2} + 1}$ 。

比例条件和边的比

已知余切或正切的比例时，设比例变量，例如 $x : y = a : b$ 可设 $x = a s, y = b s$ ， $s$ 是实数，再代入恒等式消去尺度。 $s$ 的符号由角的范围定：全角余切可能为负；半角余切都是正数， $a, b$ 也为正时才有 $s > 0$ 。边的乘积也能变成余切：由正弦定理， $ab cos C$ 、 $b c cos A$ 、 $c a cos B$ 与 $sin A sin B cos C$ 、 $sin B sin C cos A$ 、 $sin C sin A cos B$ 成同一比例；再都除以 $sin A sin B sin C$ ，就是 $cot C, cot A, cot B$ 的比例。

例 3：和与积的关系

$△ A BC$ 中， $tan A + tan B + tan C = 6$ ， $tan A tan B = 2$ 。求 $tan C$ ，以及 $tan A, tan B$ 。

怎么看出来：

三个正切都有定义，这是非直角三角形，和等于积。积里正好有 $tan A tan B$ 。

解：

由 $tan A + tan B + tan C = tan A tan B tan C$ ，得 $6 = 2 tan C$ ，所以 $tan C = 3$ 。于是 $tan A + tan B = 3$ ，又 $tan A tan B = 2$ ，所以它们是 $s^{2} - 3 s + 2 = 0$ 的两根，即 $1$ 和 $2$ 。检查：三者都为正，三个角都是锐角； $tan (A + B) = \frac{1 + 2}{1 - 2} = - 3 = - tan C$ ，正好满足 $A + B + C = π$ 。

答案：

$tan C = 3$ ； $tan A, tan B$ 分别是 $1$ 和 $2$ （顺序不定）。

例 4：半角余切

$△ A BC$ 中， $cot \frac{A}{2} = 2$ ， $cot \frac{B}{2} = 3$ 。求 $cot \frac{C}{2}$ 和 $cos C$ ，并用全角恒等式检查。

怎么看出来：

给的是半角余切，用和等于积，不是全角的两两之积。

解：

由 $x + y + z = x yz$ ： $2 + 3 + z = 6 z$ ，所以 $z = 1$ ，即 $cot \frac{C}{2} = 1$ 。于是 $cos C = \frac{z ^{2} - 1}{z ^{2} + 1} = 0$ ， $C$ 是直角。检查全角： $tan \frac{A}{2} = \frac{1}{2}$ 给出 $tan A = \frac{2 \cdot \frac{1}{2}}{1 - \frac{1}{4}} = \frac{4}{3}$ ，同样 $tan B = \frac{2 \cdot \frac{1}{3}}{1 - \frac{1}{9}} = \frac{3}{4}$ 。所以 $cot A = \frac{3}{4}, cot B = \frac{4}{3}, cot C = 0$ ，两两之积的和是 $1 + 0 + 0 = 1$ ，符合全角恒等式。这个三角形就是边长比为 $3 : 4 : 5$ 的直角三角形。

答案：

$cot \frac{C}{2} = 1$ ， $cos C = 0$ 。

进阶：均值不等式求最值 · 先修：本卡基础部分

均值不等式：和的下界

$a, b > 0$ 时，由 $(a - b)^{2} \geq 0$ 得 $a + b \geq 2 ab$ ， $a = b$ 时取等号。两个数不全为正时这个结论不一定成立，例如 $a = b = - 1$ 。两角差的正切常用它： $α, β$ 是锐角， $tan α = k tan β$ ， $k > 1$ ，设 $v = tan β > 0$ ，则 $tan (α - β) = \frac{( k - 1 ) v}{1 + k v ^{2}} = \frac{k - 1}{\frac{1}{v} + k v}$ ，分母有下界 $2 k$ ，在 $v = \frac{1}{k}$ 时取到。此时 $α - β$ 是锐角，正切越大角越大。

例 5：半角加均值

设 $θ \in (0, π)$ ，求 $y = \frac{sin θ}{2 - cos θ}$ 的最大值。

怎么看出来：

正弦余弦混合的分式， $θ$ 在 $(0, π)$ 内所以 $t = tan \frac{θ}{2} > 0$ ，可以用均值。

解：

$θ \in (0, π)$ 不含 $π$ ， $t = tan \frac{θ}{2} > 0$ ，且取遍所有正数。代入： $y = \frac{\frac{2 t}{1 + t ^{2}}}{2 - \frac{1 - t ^{2}}{1 + t ^{2}}} = \frac{2 t}{2 ( 1 + t ^{2} ) - ( 1 - t ^{2} )} = \frac{2 t}{1 + 3 t ^{2}} = \frac{2}{\frac{1}{t} + 3 t}$ 。因 $t > 0$ ， $\frac{1}{t} + 3 t \geq 23$ ，在 $\frac{1}{t} = 3 t$ 即 $t = \frac{3}{3}$ 时取等号，此时 $\frac{θ}{2} = 3 0^{\circ}$ ， $θ = 6 0^{\circ}$ 。所以 $y \leq \frac{3}{3}$ 。检查： $θ = 6 0^{\circ}$ 时 $y = \frac{3 /2}{3/2} = \frac{3}{3}$ 。

答案：

最大值 $\frac{3}{3}$ ，在 $θ = \frac{π}{3}$ 时取到。

进阶：反三角函数与主值 · 先修：本卡基础部分，反三角函数

反三角函数和主值

$arctan a$ 表示 $(- 9 0^{\circ}, 9 0^{\circ})$ 内正切等于 $a$ 的那个角； $arcsin a$ 表示 $[- 9 0^{\circ}, 9 0^{\circ}]$ 内正弦等于 $a$ 的角； $arccos a$ 表示 $[0^{\circ}, 18 0^{\circ}]$ 内余弦等于 $a$ 的角。 $θ \in (- π, π)$ 时， $x = tan \frac{θ}{2}$ 就是 $θ = 2 arctan x$ （其他 $θ$ 与它相差 $2 π$ 的整数倍），所以 $\frac{2 x}{1 + x ^{2}}, \frac{1 - x ^{2}}{1 + x ^{2}}$ 是这个 $θ$ 的正弦和余弦。但反三角函数只取上面的范围， $θ$ 超出时要改写。两个反正切之差可用差角公式： $tan (arctan a - arctan b) = \frac{a - b}{1 + ab}$ ，再判断差落在哪个范围。

例 6：主值不能直接约

对任意实数 $x$ ，化简 $arccos \frac{1 - x ^{2}}{1 + x ^{2}}$ 。

怎么看出来：

分式正是半角公式里的余弦，但 $arccos$ 的值不能是负数， $x < 0$ 时要改写。

解：

设 $θ = 2 arctan x$ ，则 $θ \in (- π, π)$ ， $tan \frac{θ}{2} = x$ ，所以 $cos θ = \frac{1 - x ^{2}}{1 + x ^{2}}$ 。 $arccos$ 取 $[0, π]$ 内余弦等于这个值的角。 $x \geq 0$ 时 $θ \in [0, π)$ ，正是所求角。 $x < 0$ 时 $θ < 0$ ，而 $cos (- θ) = cos θ$ ，且 $- θ \in (0, π)$ ，所求角是 $- θ = 2 arctan ∣ x ∣$ 。两种情况合起来就是 $2 arctan ∣ x ∣$ 。检查： $x = 1$ 和 $x = - 1$ 时， $arccos 0 = \frac{π}{2}$ ，都等于 $2 arctan 1$ ；写成 $2 arctan x$ 在 $x = - 1$ 时会得 $- \frac{π}{2}$ ，是错的。

答案：

$2 arctan ∣ x ∣$ 。

进阶：边与半角 · 先修：本卡基础部分，正弦定理，和差化积

例 7：由半角正切的积反求边比

$△ A BC$ 中， $tan \frac{A}{2} tan \frac{C}{2} = \frac{1}{5}$ 。求 $\frac{a + c}{b}$ 。

怎么看出来：

边的比用正弦定理变成角，再把所有角写成 $\frac{A}{2}, \frac{C}{2}$ ，分母和分子都能除以 $cos \frac{A}{2} cos \frac{C}{2}$ 。

解：

由正弦定理， $\frac{a + c}{b} = \frac{sin A + sin C}{sin B}$ 。和差化积： $sin A + sin C = 2 sin \frac{A + C}{2} cos \frac{A - C}{2}$ 。二倍角： $sin B = 2 sin \frac{B}{2} cos \frac{B}{2}$ 。因 $\frac{B}{2} = \frac{π}{2} - \frac{A + C}{2}$ ，有 $sin \frac{A + C}{2} = cos \frac{B}{2}$ ， $sin \frac{B}{2} = cos \frac{A + C}{2}$ 。约去正数 $2 cos \frac{B}{2}$ ，得 $\frac{a + c}{b} = \frac{cos \frac{A - C}{2}}{cos \frac{A + C}{2}}$ 。把两个余弦展开，上下同除 $cos \frac{A}{2} cos \frac{C}{2}$ （半角都是锐角，它为正），设 $m = tan \frac{A}{2} tan \frac{C}{2}$ ，得 $\frac{1 + m}{1 - m}$ 。 $m = \frac{1}{5}$ 时等于 $\frac{6/5}{4/5} = \frac{3}{2}$ 。这个值大于 $1$ ，符合两边之和大于第三边。

答案：

$\frac{3}{2}$ 。

真题

按这个方法练 · 24 题

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三角式化成一个变量：用平方关系，再配方或作差

用 $sin^{2} x + cos^{2} x = 1$ 把式子化成只含 $t = sin x$ 或 $t = cos x$ 的代数式， $t$ 只能在 $[- 1, 1]$ 内。然后配方或作差，最后确认取等的 $t$ 在范围内。

完整讲解 · 例题 · 可练 33 题

一、是什么

单位圆： $sin x$ 、 $cos x$ 和弧度

画一个圆心在原点、半径为 $1$ 的圆。点从 $(1, 0)$ 出发沿圆转动角 $x$ ： $x$ 为正时逆时针转，为负时顺时针转。落点的横坐标叫 $cos x$ ，纵坐标叫 $sin x$ 。角常用弧度表示， $π$ 就是 $18 0^{\circ}$ ，所以 $\frac{π}{2}$ 是 $9 0^{\circ}$ ， $\frac{π}{6}$ 是 $3 0^{\circ}$ 。转到四个轴上的点： $x = 0$ 到 $(1, 0)$ ， $x = \frac{π}{2}$ 到 $(0, 1)$ ， $x = π$ 到 $(- 1, 0)$ ， $x = - \frac{π}{2}$ 到 $(0, - 1)$ （ $\frac{3 π}{2}$ 也到这里）。所以 $cos 0 = 1, sin 0 = 0$ ； $cos \frac{π}{2} = 0, sin \frac{π}{2} = 1$ ； $cos π = - 1, sin π = 0$ ； $cos (- \frac{π}{2}) = 0, sin (- \frac{π}{2}) = - 1$ 。点转遍全圆时， $sin x$ 和 $cos x$ 都取遍 $[- 1, 1]$ ，不会超出这个范围。

特殊角怎么算

从落点向横轴作垂线，得到斜边为 $1$ 的直角三角形。 $3 0^{\circ}$ 所对的直角边是斜边的一半，所以 $sin \frac{π}{6} = \frac{1}{2}$ ；由勾股定理， $cos \frac{π}{6} = 1 - \frac{1}{4} = \frac{3}{2}$ 。 $6 0^{\circ}$ 时两条直角边对调： $cos \frac{π}{3} = \frac{1}{2}, sin \frac{π}{3} = \frac{3}{2}$ 。 $4 5^{\circ}$ 时两条直角边相等，由 $a^{2} + a^{2} = 1$ 得 $a = \frac{2}{2}$ ，所以 $sin \frac{π}{4} = cos \frac{π}{4} = \frac{2}{2}$ 。其他角用对称： $π - x$ 的落点与 $x$ 的落点关于纵轴对称，横坐标变号，例如 $cos \frac{2 π}{3} = cos (π - \frac{π}{3}) = - \frac{1}{2}$ ； $- x$ 的落点关于横轴对称，纵坐标变号，例如 $sin (- \frac{2 π}{3}) = - \frac{3}{2}$ 。

用平方关系统一

落点 $(cos x, sin x)$ 到圆心的距离是 $1$ ，由勾股定理， $sin^{2} x + cos^{2} x = 1$ 对所有 $x$ 成立。一个式子里 $cos x$ 只以一次出现、 $sin x$ 只以平方出现时，把 $sin^{2} x$ 换成 $1 - cos^{2} x$ 。例如 $y = sin^{2} x + 2 cos x = 1 - t^{2} + 2 t = 2 - (t - 1)^{2}$ ，其中 $t = cos x$ 。

顶点可能在区间外

$y = sin^{2} x + 4 cos x = 1 - t^{2} + 4 t = 5 - (t - 2)^{2}$ 。顶点 $t = 2$ 不在 $[- 1, 1]$ 内，不能说最大值是 $5$ 。在 $t \leq 1$ 的范围内 $t - 2 < 0$ ， $t$ 增大时 $(t - 2)^{2}$ 减小，所以 $y$ 递增。最大值在 $t = 1$ ， $y = 4$ ；最小值在 $t = - 1$ ， $y = - 4$ 。

存在零点：把零点的 $t$ 当参数

“方程有实数解”的意思是：存在 $t \in [- 1, 1]$ 使代数式等于零。可以先固定这个 $t$ ，用它解出一个参数，代入目标式，再对另一个参数配方。例如方程 $t^{2} + a t + b = 0$ 成立时 $b = - t^{2} - a t$ ，式子里只剩 $a$ 和 $t$ 。

恒成立：分离参数要看 $t$ 的正负

由 $t^{2} - a t + 2 \geq 0$ 分离 $a$ 时，要除以 $t$ 。 $t > 0$ 时不等号方向不变，得 $a \leq t + \frac{2}{t}$ ； $t < 0$ 时方向改变，得 $a \geq t + \frac{2}{t}$ ； $t = 0$ 时要单独代入。 $a$ 要比一个范围内所有的值都小，就要不超过其中的最小值，所以要确认这个最小值确实存在。

先看一道例题

例 1：顶点在区间外

求 $y = cos^{2} x - 6 sin x + 2$ 的最大值和最小值。

怎么看出来：

$cos^{2} x$ 和 $sin x$ 同时出现，用平方关系化成 $sin x$ 。

解：

设 $t = sin x \in [- 1, 1]$ 。 $y = 1 - t^{2} - 6 t + 2 = - t^{2} - 6 t + 3 = 12 - (t + 3)^{2}$ 。顶点 $t = - 3$ 不在范围内。 $t \geq - 1$ 时 $t + 3 > 0$ ， $t$ 增大时 $(t + 3)^{2}$ 增大，所以 $y$ 递减。最大值在 $t = - 1$ ： $y = 12 - 4 = 8$ ，对应 $x = - \frac{π}{2}$ 。最小值在 $t = 1$ ： $y = 12 - 16 = - 4$ ，对应 $x = \frac{π}{2}$ 。检查： $x = - \frac{π}{2}$ 时 $0 + 6 + 2 = 8$ ； $x = \frac{π}{2}$ 时 $0 - 6 + 2 = - 4$ 。

答案：

最大值 $8$ ，最小值 $- 4$ 。

二、什么时候想到它

题目里看到	应该想到
$sin^{2} x$ 与 $cos x$ 同时出现，如 $sin^{2} x + 4 cos x$	把 $sin^{2} x$ 换成 $1 - cos^{2} x$ ，设 $t = cos x$
含参数，且“方程有实数解”，如 $cos^{2} x + a cos x + b = 0$	把解对应的 $t$ 当参数，解出一个字母，再配方
对任意 $x$ 成立，如 $sin^{2} x + a cos x \leq 3$	设 $t$ ，在 $[- 1, 1]$ 上分离参数，注意 $t$ 的正负和 $t = 0$
配方后顶点含参数，如 $sin^{2} x + 2 a cos x$	按顶点在范围内、左边、右边分情况（见进阶“含参数的方程”）
分式 $\frac{sin x}{2 + cos x}$	$sin x$ 的符号不定，先平方，再找成平方的数（见进阶“分式的界”）
两个根式相加，被开方式都含 $cos x$	设 $t$ ，两边都非负，平方后比较（见进阶“根式”）

三、怎么用

看式子能否化成一个函数。例如 $y = sin^{2} x + 2 cos x$ ，把 $sin^{2} x$ 换成 $1 - cos^{2} x$ 。
设 $t$ ，写范围。这里 $t = cos x$ ， $x$ 是全体实数，所以 $t \in [- 1, 1]$ 。
配方或作差。这里 $y = 1 - t^{2} + 2 t = 2 - (t - 1)^{2}$ 。
判断取等的 $t$ 是否在范围内。 $t = 1$ 在范围内，最大值 $2$ ； $(t - 1)^{2}$ 最大在 $t = - 1$ ，最小值 $2 - 4 = - 2$ 。
写出对应的 $x$ 并代回。 $x = 0$ 时 $0 + 2 = 2$ ； $x = π$ 时 $0 - 2 = - 2$ ，都成立。

四、再做一道

例 2：恒成立求参数

对任意实数 $x$ ， $sin^{2} x + a cos x \leq 3$ 都成立，求 $a$ 的范围。

怎么看出来：

化成 $t = cos x$ 后是 $[- 1, 1]$ 上的恒成立问题。要分离 $a$ ，就要按 $t$ 的正负分开。

解：

$1 - t^{2} + a t \leq 3$ ，即 $t^{2} - a t + 2 \geq 0$ ，要求对所有 $t \in [- 1, 1]$ 成立。 $t = 0$ 时 $2 \geq 0$ ，自动成立。 $0 < t \leq 1$ 时，除以正数 $t$ 得 $a \leq t + \frac{2}{t}$ 。作差： $t + \frac{2}{t} - 3 = \frac{( t - 1 ) ( t - 2 )}{t}$ 。在 $0 < t \leq 1$ 上， $t - 1 \leq 0, t - 2 < 0, t > 0$ ，所以这个差不小于 $0$ ， $t = 1$ 时等于 $0$ 。因此 $t + \frac{2}{t}$ 的最小值是 $3$ ，得 $a \leq 3$ 。 $- 1 \leq t < 0$ 时，除以负数，方向改变，得 $a \geq t + \frac{2}{t}$ 。令 $s = - t \in (0, 1]$ ，则 $t + \frac{2}{t} = - (s + \frac{2}{s})$ ，由上面的结果它的最大值是 $- 3$ ，得 $a \geq - 3$ 。合起来 $- 3 \leq a \leq 3$ 。检查： $a = 3, t = 1$ 时 $1 - 3 + 2 = 0$ ，取等号； $a = 4, t = 1$ 时 $1 - 4 + 2 = - 1 < 0$ ，不成立。

答案：

$- 3 \leq a \leq 3$ 。

五、容易错在哪

配方后顶点在 $[- 1, 1]$ 外时，最值不在顶点。要先写范围，再判断增减，比较端点。
$sin x = \pm 1 - cos^{2} x$ 有两个符号。平方后得到的结果，要回到原式确认正负都能取到。
分离参数时除以 $t$ ， $t$ 为负要改变不等号方向， $t = 0$ 要单独代入。
对二次式 $A t^{2} + Bt + C$ ，只有在 $A > 0$ 时，“对所有实数 $t$ 都不小于 $0$ ”才等价于判别式不大于 $0$ 。例如 $- t^{2} - 1$ 的判别式为 $- 4$ ，却处处小于 $0$ 。另外 $t$ 只在 $[- 1, 1]$ 内，所以求出的数还要看取等的 $t$ 是否在范围内。
根式变形前要看被开方数是否非负， $A^{2} = ∣ A ∣$ ，不是 $A$ 。

进阶：含参数的方程

顶点里有参数：按位置分三种情况

$y = sin^{2} x + 2 a cos x = 1 + a^{2} - (t - a)^{2}$ ，其中 $t = cos x \in [- 1, 1]$ 。顶点 $t = a$ 的位置随 $a$ 变化。 $- 1 \leq a \leq 1$ 时顶点在范围内，最大值是 $1 + a^{2}$ 。 $a > 1$ 时 $t - a < 0$ ， $t$ 越大 $(t - a)^{2}$ 越小，最大值在 $t = 1$ ，为 $2 a$ 。 $a < - 1$ 时最大值在 $t = - 1$ ，为 $- 2 a$ 。

例 3：有实数解时求最小值

方程 $cos^{2} x + a cos x + b = 0$ 有实数解，求 $a^{2} + 4 b$ 的最小值。

怎么看出来：

有解是说存在一个 $t$ 。固定这个 $t$ 解出 $b$ ，目标式就只剩 $a, t$ 。

解：

设 $t = cos x \in [- 1, 1]$ 是使方程成立的值，则 $b = - t^{2} - a t$ 。 $a^{2} + 4 b = a^{2} - 4 a t - 4 t^{2} = (a - 2 t)^{2} - 8 t^{2}$ 。因为 $(a - 2 t)^{2} \geq 0$ ， $t^{2} \leq 1$ ，所以 $a^{2} + 4 b \geq - 8$ 。等号要求 $t^{2} = 1$ 且 $a = 2 t$ 。取 $t = 1, a = 2$ ，则 $b = - 1 - 2 = - 3$ 。检查： $x = 0$ 时 $1 + 2 - 3 = 0$ ，方程有解， $a^{2} + 4 b = 4 - 12 = - 8$ 。

答案：

最小值是 $- 8$ 。

例 4：已知最大值求参数

$y = sin^{2} x + 2 a cos x$ 的最大值是 $3$ ，求 $a$ 。

怎么看出来：

顶点 $t = a$ 含参数，按它在 $[- 1, 1]$ 内、右边、左边分三种情况。

解：

设 $t = cos x$ ， $y = 1 + a^{2} - (t - a)^{2}$ 。情况 1： $- 1 \leq a \leq 1$ ，最大值 $1 + a^{2} \leq 2$ ，不可能等于 $3$ 。情况 2： $a > 1$ ，最大值在 $t = 1$ ，为 $2 a$ 。令 $2 a = 3$ ，得 $a = \frac{3}{2}$ ，符合 $a > 1$ 。情况 3： $a < - 1$ ，最大值在 $t = - 1$ ，为 $- 2 a$ 。令 $- 2 a = 3$ ，得 $a = - \frac{3}{2}$ ，符合 $a < - 1$ 。检查： $a = \frac{3}{2}, x = 0$ 时 $y = 0 + 3 = 3$ ； $a = - \frac{3}{2}, x = π$ 时 $y = 0 + 3 = 3$ 。

答案：

$a = \frac{3}{2}$ 或 $a = - \frac{3}{2}$ 。

进阶：根式

根式要先看被开方数

平方前确认两边同号，开方时记住 $A^{2} = ∣ A ∣$ 。例如 $1 - sin^{2} x = ∣ cos x ∣$ ，不是 $cos x$ 。而由 $cos x$ 求 $sin x$ 时， $sin x = \pm 1 - cos^{2} x$ ，两个符号都有可能。

例 5：两个根式的和

求 $y = 3 + cos x + 3 - cos x$ 的最大值和最小值。

怎么看出来：

两个根式里只有 $cos x$ ，平方后中间项是 $9 - t^{2}$ ，只有一处含 $t$ 。

解：

设 $t = cos x \in [- 1, 1]$ ，被开方数 $3 \pm t \geq 2 > 0$ ，所以 $y > 0$ 。 $y^{2} = 6 + 2 9 - t^{2}$ 。 $t^{2}$ 的范围是 $[0, 1]$ ， $t^{2}$ 越大 $y^{2}$ 越小。 $t = 0$ 时 $y^{2} = 12$ ， $y = 23$ 。 $t = \pm 1$ 时 $y^{2} = 6 + 28 = 6 + 42 = (2 + 2)^{2}$ ， $y = 2 + 2$ 。检查： $t = 1$ 时 $4 + 2 = 2 + 2$ ，成立。 $y > 0$ 保证开方取正。

答案：

最大值 $23$ ，最小值 $2 + 2$ 。

进阶：分式的界 · 先修：一元二次方程的判别式

分式的界：找让二次式成平方的数

要找最小的 $m$ 使 $\frac{1 - t ^{2}}{( 2 + t ) ^{2}} \leq m$ 对 $t \in [- 1, 1]$ 成立。去分母（分母为正）并整理： $(m + 1) t^{2} + 4 m t + 4 m - 1 \geq 0$ 。先定开口：代入 $t = 0$ ，原不等式给出 $\frac{1}{4} \leq m$ ，所以 $m + 1 > 0$ ，二次式开口向上。二次项系数为正时，二次式对所有实数 $t$ 都不小于 $0$ ，等价于判别式不大于 $0$ ： $(4 m)^{2} - 4 (m + 1) (4 m - 1) = 4 - 12 m \leq 0$ ，即 $m \geq \frac{1}{3}$ 。 $m = \frac{1}{3}$ 时恰好成完全平方： $\frac{1}{3} (2 t + 1)^{2}$ 。判别式只是帮我们找到这个数，确认时还要看取等的 $t = - \frac{1}{2}$ 确在 $[- 1, 1]$ 内。

例 6：分式的值域

求 $y = \frac{sin x}{2 + cos x}$ 的值域。

怎么看出来：

分子是 $sin x$ ，符号不定。先平方，变成只含 $t = cos x$ 的式子，再找上界。

解：

$y^{2} = \frac{sin ^{2} x}{( 2 + cos x ) ^{2}} = \frac{1 - t ^{2}}{( 2 + t ) ^{2}}$ 。作差： $\frac{1}{3} - y^{2} = \frac{( 2 + t ) ^{2} - 3 ( 1 - t ^{2} )}{3 ( 2 + t ) ^{2}} = \frac{( 2 t + 1 ) ^{2}}{3 ( 2 + t ) ^{2}} \geq 0$ ，所以 $∣ y ∣ \leq \frac{3}{3}$ 。等号要 $t = - \frac{1}{2}$ ， $sin x = \pm \frac{3}{2}$ 。 $x = \frac{2 π}{3}$ 时 $y = \frac{3 /2}{3/2} = \frac{3}{3}$ ； $x = - \frac{2 π}{3}$ 时 $y = - \frac{3}{3}$ 。分母恒为正， $y$ 随 $x$ 连续变化，所以两者之间的值都能取到。

答案：

$[- \frac{3}{3}, \frac{3}{3}]$ 。

进阶：三角形里的角 · 先修：二倍角公式、余弦的对称关系（角 θ 与 180°−θ 的余弦互为相反数）

三角形里的角

三角形中 $A + B + C = π$ ，所以 $C = π - (A + B)$ ， $cos C = - cos (A + B)$ 。若 $A = B$ ，则 $cos C = - cos 2 A = 1 - 2 cos^{2} A$ 。还要从“三个角都是正数”写出范围： $A = B$ 时 $2 A < π$ ，所以 $0 < A < \frac{π}{2}$ ， $cos A \in (0, 1)$ 。

例 7：等腰三角形

$△ A BC$ 中 $A = B$ ，求 $cos A + cos C$ 的最大值。

怎么看出来：

用内角和消去 $C$ ，化成只含 $cos A$ 的二次式。注意 $cos A$ 的范围不是 $[- 1, 1]$ 。

解：

$C = π - 2 A$ ， $cos C = - cos 2 A = 1 - 2 cos^{2} A$ 。由 $C > 0$ 得 $0 < A < \frac{π}{2}$ ，设 $t = cos A \in (0, 1)$ 。 $cos A + cos C = - 2 t^{2} + t + 1 = - 2 (t - \frac{1}{4})^{2} + \frac{9}{8}$ 。顶点 $t = \frac{1}{4}$ 在范围内，最大值 $\frac{9}{8}$ 。检查： $cos A = \frac{1}{4}$ 时 $cos C = 1 - \frac{1}{8} = \frac{7}{8}$ ，和为 $\frac{1}{4} + \frac{7}{8} = \frac{9}{8}$ 。

答案：

最大值是 $\frac{9}{8}$ 。

进阶：用导数 · 先修：导数

用导数找极值

化成 $t$ 后不能配方时，可以求导。在开区间上，若导数只有一个零点，且它左边导数为负、右边为正，这个点就是最小值点。例如 $x \in (0, \frac{π}{2})$ ， $t = cos x \in (0, 1)$ ， $y = \frac{1}{t} + \frac{1}{1 - t}$ ， $y^{'} = - \frac{1}{t ^{2}} + \frac{1}{( 1 - t ) ^{2}}$ 。 $t < \frac{1}{2}$ 时 $t < 1 - t$ ， $y^{'} < 0$ ； $t > \frac{1}{2}$ 时 $y^{'} > 0$ 。所以最小值在 $t = \frac{1}{2}$ ， $y = 4$ 。

例 8：用导数

求 $y = sin^{2} x cos x$ 的最大值和最小值。

怎么看出来：

化成 $t = cos x$ 的三次式，不能配方，比较端点和导数零点。

解：

$y = g (t) = (1 - t^{2}) t = t - t^{3}$ ， $t \in [- 1, 1]$ 。 $g^{'} (t) = 1 - 3 t^{2}$ ，零点 $t = \pm \frac{3}{3}$ ，都在区间内。 $g (\frac{3}{3}) = \frac{3}{3} \cdot \frac{2}{3} = \frac{2 3}{9}$ ， $g (- \frac{3}{3}) = - \frac{2 3}{9}$ ，端点 $g (\pm 1) = 0$ 。比较这四个值。

答案：

最大值 $\frac{2 3}{9}$ ，最小值 $- \frac{2 3}{9}$ 。

真题

按这个方法练 · 33 题

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三角最值：用均值、柯西放缩，再查等号能不能取到

先用不等式得到一个界，再找出让它取等的角。这个角必须真的存在、满足全部条件，这个界才是最值。放缩不止一次时，所有等号要能同时成立。

完整讲解 · 例题 · 可练 54 题

一、是什么

记号和均值不等式

在圆心为原点、半径为 $1$ 的圆上，从 $(1, 0)$ 出发转动角 $x$ （逆时针为正， $π$ 表示 $18 0^{\circ}$ ），落点的横坐标叫 $cos x$ ，纵坐标叫 $sin x$ ，所以 $sin^{2} x + cos^{2} x = 1$ 。所以 $0 < x < \frac{π}{2}$ 时 $sin x \in (0, 1)$ 。均值不等式： $p, q \geq 0$ 时 $p + q \geq 2 pq$ ，当且仅当 $p = q$ 时取等。理由是 $p + q - 2 pq = (p - q)^{2} \geq 0$ 。 $p, q$ 必须非负： $p = - 1, q = - 4$ 时 $p + q = - 5$ ，而 $2 pq = 4$ ，不等式不成立。

取等的值要落在范围内

$s = sin x$ ， $0 < s \leq 1$ 。 $9 s + \frac{1}{s} \geq 29 = 6$ ，取等要 $9 s = \frac{1}{s}$ ， $s = \frac{1}{3}$ ，在范围内，所以最小值是 $6$ 。而 $s + \frac{4}{s} \geq 4$ 取等要 $s = 2$ ， $sin x$ 取不到 $2$ ，所以 $4$ 不是最小值。这时可以作差： $s + \frac{4}{s} - 5 = \frac{( s - 1 ) ( s - 4 )}{s}$ ， $0 < s \leq 1$ 时分子的两个因子都不为正，乘积非负，分母为正，所以 $s + \frac{4}{s} \geq 5$ ， $s = 1$ 时取等。

另一种常用形式

对任意实数 $p, q$ ， $pq \leq (\frac{p + q}{2})^{2}$ ，因为两边之差是 $(\frac{p - q}{2})^{2} \geq 0$ 。它不要求 $p, q$ 非负，用的是和为定值。例如 $p = 2 + sin x$ ， $q = 2 - sin x$ ，和是 $4$ ，所以 $pq \leq 4$ ， $sin x = 0$ 时取等。

先看一道例题

例 1：直接用均值

$x \in (0, \frac{π}{2})$ ，求 $y = 4 sin x + \frac{1}{sin x}$ 的最小值，并写出此时的 $x$ 。

怎么看出来：

两项都是正数，乘积是常数 $4$ ，所以用均值不等式。

解：

设 $s = sin x \in (0, 1)$ 。 $4 s + \frac{1}{s} \geq 2 4 s \cdot \frac{1}{s} = 4$ 。取等要 $4 s = \frac{1}{s}$ ， $s^{2} = \frac{1}{4}$ ， $s > 0$ 所以 $s = \frac{1}{2}$ ，在范围内，对应 $x = \frac{π}{6}$ （ $3 0^{\circ}$ 角所对的直角边是斜边的一半）。代回： $2 + 2 = 4$ 。

答案：

最小值 $4$ ， $x = \frac{π}{6}$ 。

二、什么时候想到它

题目里看到	应该想到
$sin x$ 和 $\frac{1}{sin x}$ 同时出现，都是正数	用均值不等式，再查取等的值在不在范围内
取等的值跑到范围之外	作差或看单调性，重新证明一个能取到的界；最值不一定在端点，要算出来
正数的和或积，且和为定值，如 $sin^{2} x + cos^{2} x = 1$	用均值或柯西（见进阶“柯西与分式”）
几个分式，分母的和为定值	用分式柯西（见进阶“柯西与分式”）
三个角的对称式，要最值	固定一角，合并另两角（见进阶“合并两角”）
三角形已知一个角和边的和，要面积或第三边的最值	用余弦定理和 $ab \leq (\frac{a + b}{2})^{2}$ （见进阶“边的最值”）

三、怎么用

确认条件。例如 $x \in (0, \frac{π}{2})$ ，求 $9 sin x + \frac{1}{sin x}$ 的最小值。 $s = sin x \in (0, 1)$ ，两项都是正数。
用不等式得到界。 $9 s + \frac{1}{s} \geq 2 9 s \cdot \frac{1}{s} = 6$ 。
解取等条件。 $9 s = \frac{1}{s}$ ， $s^{2} = \frac{1}{9}$ ， $s = \frac{1}{3}$ 。
查这个值能否取到。 $s = \frac{1}{3} \in (0, 1)$ ，确实存在这样的 $x$ 。代回： $3 + 3 = 6$ 。
写结论。能取到就是最值；取不到就重新证明一个界。要说这个界是确界，还要证明式子能任意接近它。这里最小值是 $6$ 。

四、再做一道

例 2：取等的值不在范围内

$x \in (0, \frac{π}{2}]$ ，求 $y = sin x + \frac{4}{sin x}$ 的最小值。

怎么看出来：

均值不等式取等要 $sin x = 2$ ，做不到。范围的右端 $sin x = 1$ 最接近它，所以猜最小值在 $sin x = 1$ 处，作差来证。

解：

设 $s = sin x \in (0, 1]$ 。均值不等式给 $s + \frac{4}{s} \geq 4$ ，但取等要 $s = 2$ ，所以用不上。猜最小值是 $s = 1$ 时的 $5$ 。作差： $s + \frac{4}{s} - 5 = \frac{s ^{2} - 5 s + 4}{s} = \frac{( s - 1 ) ( s - 4 )}{s}$ 。 $0 < s \leq 1$ 时 $s - 1 \leq 0$ ， $s - 4 < 0$ ，乘积不小于 $0$ ，分母为正，所以 $y \geq 5$ 。 $s = 1$ 即 $x = \frac{π}{2}$ 时取等。

答案：

最小值 $5$ 。

五、容易错在哪

用均值不等式前，要确认各项非负。
分式柯西的分母要是正数。
得到一个界不等于得到最值，要写出取等的角，并确认它满足全部条件。
几次放缩的等号要能同时成立，分别能取到不够。
只能接近的边界要说确界，不能说最大值或最小值。
凹函数的结论只在确实凹的区间上能用，含钝角的余弦不能直接套，也不能直接取对数。

进阶：柯西与分式 · 先修：向量的长度

柯西不等式和长度

$(p x + q y)^{2} + (p y - q x)^{2} = (p^{2} + q^{2}) (x^{2} + y^{2})$ ，展开可验证。第 $2$ 个平方非负，所以 $(p x + q y)^{2} \leq (p^{2} + q^{2}) (x^{2} + y^{2})$ ，取等要 $p y = q x$ 。分式形式： $u, v > 0$ 时 $\frac{x ^{2}}{u} + \frac{y ^{2}}{v} \geq \frac{( x + y ) ^{2}}{u + v}$ ，取等要 $\frac{x}{u} = \frac{y}{v}$ ，分母必须为正。根式可以看成长度：向量 $(p, q)$ 的长度是 $p^{2} + q^{2}$ ，两个向量的长度之和不小于和向量的长度，同向时取等。例如 $1 + sin^{2} x + 4 + sin^{2} x$ 是 $(1, sin x)$ 和 $(2, - sin x)$ 的长度之和，不小于 $(3, 0)$ 的长度 $3$ ；同向要 $sin x = 0$ ，此时确实等于 $1 + 2 = 3$ 。

例 3：柯西：和为定值

实数 $x, y$ 满足 $sin^{2} x + cos^{2} y = 1$ ，求 $3 sin x + 4 cos y$ 的最大值。

怎么看出来：

$sin x$ 和 $cos y$ 是两个数，平方和为 $1$ ，要的是一次组合，正好是柯西的形状。

解：

设 $p = sin x, q = cos y$ ， $p^{2} + q^{2} = 1$ 。 $(3 p + 4 q)^{2} + (3 q - 4 p)^{2} = (3^{2} + 4^{2}) (p^{2} + q^{2}) = 25$ ，所以 $(3 p + 4 q)^{2} \leq 25$ ， $3 p + 4 q \leq 5$ 。取等要 $3 q = 4 p$ ，且 $3 p + 4 q > 0$ ，结合 $p^{2} + q^{2} = 1$ ，得 $p = \frac{3}{5}, q = \frac{4}{5}$ 。这两个数都在 $[- 1, 1]$ 内，所以有对应的 $x, y$ 。代回： $\frac{9}{5} + \frac{16}{5} = 5$ 。

答案：

最大值 $5$ 。

例 4：分式柯西

$x \in (0, \frac{π}{2})$ ，求 $y = \frac{1}{sin ^{2} x} + \frac{4}{cos ^{2} x}$ 的最小值。

怎么看出来：

分子是 $1^{2}, 2^{2}$ ，分母的和是 $1$ ，用分式柯西。

解：

$sin^{2} x, cos^{2} x > 0$ 。 $y = \frac{1 ^{2}}{sin ^{2} x} + \frac{2 ^{2}}{cos ^{2} x} \geq \frac{( 1 + 2 ) ^{2}}{sin ^{2} x + cos ^{2} x} = 9$ 。取等要 $\frac{1}{sin ^{2} x} = \frac{2}{cos ^{2} x}$ ， $cos^{2} x = 2 sin^{2} x$ ，结合平方和为 $1$ ， $sin^{2} x = \frac{1}{3}, cos^{2} x = \frac{2}{3}$ ，这样的 $x$ 存在。代回： $3 + 6 = 9$ 。

答案：

最小值 $9$ 。

进阶：合并两角 · 先修：和差化积

固定一角，合并另外两角

三角形有两个自由的角。先固定 $C$ ，把 $A, B$ 合并。 $cos A + cos B = 2 cos \frac{A + B}{2} cos \frac{A - B}{2} = 2 sin \frac{C}{2} cos \frac{A - B}{2} \leq 2 sin \frac{C}{2}$ ，因为 $sin \frac{C}{2} > 0$ ， $cos \frac{A - B}{2} \leq 1$ ， $A = B$ 时取等。这样只剩 $C$ 一个变量。如果要乘上含 $C$ 的式子，要先看它的正负，负数会让不等号反向。

凹函数

$[0, π]$ 上 $sin x + sin y = 2 sin \frac{x + y}{2} cos \frac{x - y}{2} \leq 2 sin \frac{x + y}{2}$ ，因为 $\frac{x + y}{2} \in [0, π]$ 时 $sin \frac{x + y}{2} \geq 0$ ， $cos \frac{x - y}{2} \leq 1$ 。满足“两点函数值的平均不超过中点的函数值”的函数叫凹函数，这个结论可以推广到 $3$ 个点：把第 $4$ 个点取成 $3$ 个点的平均，再两两合并。一定要先核区间： $cos$ 在 $[0, \frac{π}{2}]$ 上凹，在 $[\frac{π}{2}, π]$ 上不凹。取 $x = \frac{π}{2}, y = π$ ，平均是 $- \frac{1}{2}$ ，中点的值是 $- \frac{2}{2}$ ，比平均小。同样，钝角的余弦为负，不能直接取对数。

多次放缩，等号要能同时成立

$sin x \leq 1$ 在 $x = \frac{π}{2}$ 取等， $cos 2 x \leq 1$ 在 $x = 0$ 取等，不是同一点。所以 $sin x + cos 2 x \leq 2$ 对，但 $2$ 不是最大值。设 $s = sin x$ ，式子是 $s + 1 - 2 s^{2} = - 2 (s - \frac{1}{4})^{2} + \frac{9}{8}$ ，真正的最大值是 $\frac{9}{8}$ 。对称的外观也不能代替证明，取等的点要写出来。

只能接近，取不到

$x \in (0, \frac{π}{2})$ 时， $(sin x + cos x)^{2} = 1 + 2 sin x cos x > 1$ ，所以 $sin x + cos x > 1$ ； $x$ 接近 $0$ 时它可以任意接近 $1$ ，但取不到 $1$ 。这时不能说“最小值是 $1$ ”，只能说下确界是 $1$ （下确界：最大的下界，自己不一定取得到）。同样有上确界。

例 5：固定一角再合并

求 $△ A BC$ 中 $cos A + cos B + 2 cos C$ 的最大值，并写出取到时 $sin \frac{C}{2}$ 的值。

怎么看出来：

$A, B$ 的地位相同， $C$ 不同，所以固定 $C$ ，合并 $A, B$ ，再用半角把 $cos C$ 写成同一个变量。

解：

$cos A + cos B \leq 2 sin \frac{C}{2}$ ， $A = B$ 时取等。设 $u = sin \frac{C}{2} \in (0, 1)$ ，由 $cos C = 1 - 2 sin^{2} \frac{C}{2}$ ，式子不超过 $2 u + 2 (1 - 2 u^{2}) = - 4 u^{2} + 2 u + 2 = - 4 (u - \frac{1}{4})^{2} + \frac{9}{4}$ ，所以不超过 $\frac{9}{4}$ 。两个等号同时成立要 $A = B$ 且 $u = \frac{1}{4}$ 。 $u = \frac{1}{4}$ 在 $(0, 1)$ 内，此时 $C$ 是确定的内角， $A = B = \frac{π - C}{2} > 0$ ，三角形存在。代回： $cos C = 1 - \frac{1}{8} = \frac{7}{8}$ ， $cos A = sin \frac{C}{2} = \frac{1}{4}$ ，总和 $\frac{1}{4} + \frac{1}{4} + \frac{7}{4} = \frac{9}{4}$ 。

答案：

最大值 $\frac{9}{4}$ ，此时 $sin \frac{C}{2} = \frac{1}{4}$ 。

进阶：边的最值 · 先修：余弦定理

例 6：边的和已知

$△ A BC$ 中， $C = 6 0^{\circ}$ ， $a + b = 4$ 。求面积的最大值和 $c$ 的最小值。

怎么看出来：

面积和 $c^{2}$ 都能写成 $ab$ 的式子，而 $a + b$ 已知时 $ab$ 有上界。

解：

$ab \leq (\frac{a + b}{2})^{2} = 4$ ， $a = b = 2$ 时取等。面积 $S = \frac{1}{2} ab sin 6 0^{\circ} = \frac{3}{4} ab \leq 3$ 。余弦定理： $c^{2} = a^{2} + b^{2} - 2 ab cos 6 0^{\circ} = (a + b)^{2} - 3 ab = 16 - 3 ab \geq 4$ ，所以 $c \geq 2$ 。两个等号都在 $a = b = 2$ 时成立，这时三边都是 $2$ ，三角形存在。

答案：

面积最大值 $3$ ， $c$ 的最小值 $2$ 。

真题

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三角函数化成一个变量：求导看增减，再比较端点

不好配方、也不好放缩时，把式子化成一个变量的函数，求导。导数的正负告诉我们函数在哪一段增、哪一段减。可导函数在闭区间上的最值，只可能在端点和导数为零的点；开区间的端点要看函数接近哪个值。

完整讲解 · 例题 · 可练 23 题

一、是什么

记号和换元

在圆心为原点、半径为 $1$ 的圆上，从 $(1, 0)$ 出发转动角 $x$ （逆时针为正， $π$ 表示 $18 0^{\circ}$ ），落点的横坐标叫 $cos x$ ，纵坐标叫 $sin x$ ，所以 $sin^{2} x + cos^{2} x = 1$ 。所以 $sin^{2} x = 1 - cos^{2} x$ 。设 $t = sin x$ ， $x$ 取全体实数时， $t$ 取遍 $[- 1, 1]$ 。只含 $sin x$ 的式子就成了 $t$ 的多项式或分式。常用值： $cos \frac{π}{3} = \frac{1}{2}$ ， $sin \frac{π}{3} = \frac{3}{2}$ 。

导数是什么，怎么算

函数 $g$ 在某点的导数 $g^{'}$ 是图象在该点切线的斜率。 $g^{'} > 0$ 的一段上 $g$ 递增， $g^{'} < 0$ 的一段上 $g$ 递减。算法： $(t^{n})^{'} = n t^{n - 1}$ ，常数的导数是 $0$ ，和的导数是导数的和，常数倍可以提出来。例如 $(t^{2} + 3)^{'} = 2 t$ 。乘积： $(uv)^{'} = u^{'} v + u v^{'}$ 。商： $(\frac{u}{v})^{'} = \frac{u ^{'} v - u v ^{'}}{v ^{2}}$ （ $v \neq = 0$ ），分母恒正时，导数的符号只看分子。三角函数： $(sin x)^{'} = cos x$ ， $(cos x)^{'} = - sin x$ 。这些是可以直接用的公式。

最值在哪里

$g$ 在闭区间上可导时，最大值和最小值只可能在两个端点和 $g^{'} = 0$ 的点（叫驻点）取到。把这些点的值都算出来比较，只算一个驻点不够。在开区间上，端点不属于区间，那里的值可能只是接近而取不到。 $g$ 的图象不断开，所以最小值和最大值之间的值都能取到。

先看一道例题

例 1：方程有解，就是落在值域里

方程 $\frac{sin ^{2} x + 3}{sin x + 2} = m$ 有实根，求 $m$ 的范围。

怎么看出来：

有解就是 $m$ 在左边的值域里。设 $t$ 后是分式，分母恒正，用商的公式求导。

解：

设 $t = sin x \in [- 1, 1]$ ， $g (t) = \frac{t ^{2} + 3}{t + 2}$ ，分母为正。 $g^{'} (t) = \frac{2 t ( t + 2 ) - ( t ^{2} + 3 )}{( t + 2 ) ^{2}} = \frac{t ^{2} + 4 t - 3}{( t + 2 ) ^{2}}$ 。分子的根是 $t = - 2 \pm 7$ ，其中 $t_{0} = 7 - 2 \approx 0.646$ 在区间内，另一个小于 $- 1$ 。 $- 1 \leq t < t_{0}$ 时分子为负， $g$ 递减； $t_{0} < t \leq 1$ 时分子为正， $g$ 递增。所以最小值在 $t_{0}$ 。由 $t_{0}^{2} = 3 - 4 t_{0}$ ， $g (t_{0}) = \frac{6 - 4 t _{0}}{t _{0} + 2} = \frac{6 - 4 7 + 8}{7} = \frac{14 - 4 7}{7} = 27 - 4$ 。端点： $g (- 1) = 4$ ， $g (1) = \frac{4}{3}$ ，最大值 $4$ 。 $g$ 的图象不断开，中间的值都能取到，每个 $t \in [- 1, 1]$ 都有对应的 $x$ 。

答案：

$27 - 4 \leq m \leq 4$ 。

二、什么时候想到它

题目里看到	应该想到
只含 $sin x$ 的分式，如 $\frac{sin ^{2} x + 3}{sin x + 2}$	设 $t$ ，在 $[- 1, 1]$ 上用商的公式求导，比较端点和驻点
开区间上的三角函数，如 $(1 + cos x) sin x$	直接对 $x$ 求导，端点看接近的值
三角形的量，自由变量只剩一个	写出它的准确范围，把每个端点还原成三角形：退化的要排除，不退化的能取到（见进阶“退化边界”）
三个角的同一个函数相加	尝试切线放缩（见进阶“切线放缩”）
式子里同时有参数和三角函数	固定中间量，先对参数配方（见进阶“两个参数”）

三、怎么用

化成一个变量并写范围。例如 $y = \frac{2 sin x + 1}{sin x + 2}$ ，设 $t = sin x$ ， $g (t) = \frac{2 t + 1}{t + 2}$ ， $t \in [- 1, 1]$ ，分母 $t + 2 > 0$ 。
求导并整理。 $g^{'} (t) = \frac{2 ( t + 2 ) - ( 2 t + 1 )}{( t + 2 ) ^{2}} = \frac{3}{( t + 2 ) ^{2}}$ 。
逐段判断符号。分子是 $3$ ，分母为正，所以 $g^{'} > 0$ ， $g$ 在整段上递增，没有驻点。
比较所有端点和驻点的值。 $g (- 1) = - 1$ ， $g (1) = 1$ 。
写结论，开闭要分清。这里是闭区间， $g$ 的图象不断开，范围是 $[- 1, 1]$ 。

四、再做一道

例 2：开区间：端点取不到

求 $y = (1 + cos x) sin x$ 在 $(0, π)$ 上的值域。

怎么看出来：

两个因子都含 $x$ ，配方不方便，用乘积的求导公式。 $x = 0, π$ 不在区间内，要单独看接近的值。

解：

$y^{'} = (- sin x) sin x + (1 + cos x) cos x = - sin^{2} x + cos x + cos^{2} x$ 。把 $sin^{2} x$ 换成 $1 - cos^{2} x$ ，得 $y^{'} = 2 cos^{2} x + cos x - 1 = (2 cos x - 1) (cos x + 1)$ 。在 $(0, π)$ 上 $cos x + 1 > 0$ ，所以符号只看 $2 cos x - 1$ ： $0 < x < \frac{π}{3}$ 时 $cos x > \frac{1}{2}$ ， $y^{'} > 0$ ，递增； $\frac{π}{3} < x < π$ 时 $y^{'} < 0$ ，递减。最大值在 $x = \frac{π}{3}$ ： $(1 + \frac{1}{2}) \cdot \frac{3}{2} = \frac{3 3}{4}$ 。 $x$ 接近 $0$ 或 $π$ 时 $y$ 接近 $0$ ；区间内 $sin x > 0$ ， $1 + cos x > 0$ ，所以 $y > 0$ ， $0$ 取不到。 $y$ 连续变化， $0$ 和最大值之间的值都能取到。

答案：

$(0, \frac{3 3}{4}]$ 。

五、容易错在哪

只算一个驻点就说是最值不够，所有端点和驻点都要比较。
三角形的角不能是 $0$ ，退化情形不算三角形。边界上的值能否取到要另查：如果别的非退化三角形也给出这个值，它就能取到。
导数为零的点不一定是极值点，要看两侧的符号。
切线放缩要在整个需要的区间上证明，切点附近成立不算。
换元后要写新变量的范围，驻点落在范围外的不算。

进阶：退化边界 · 先修：导数的四则运算

多个变量：边界和内部都要查

三角形有两个自由的角。能化成一个变量最好。不能时，可导函数在闭区域上的最值，只可能在区域内部各方向导数都为零的点，或在边界上。边界就是某个角变成 $0$ 的退化情形，要把每条边都比一遍。退化情形不是真正的三角形，要排除；但同一个函数值可能在别的非退化三角形上取到，所以边界的值能否取到，要另外查。

正切的导数

由商的公式， $(tan x)^{'} = \frac{cos x cos x + sin x sin x}{cos ^{2} x} = \frac{1}{cos ^{2} x}$ 。

例 3：等腰三角形的内切圆

等腰三角形的两腰长都是 $1$ ，求它的内切圆半径的最大值。

怎么看出来：

设顶角为 $θ$ ，半径是 $θ$ 的函数。退化时半径趋于 $0$ ，所以最大值在内部，要求导。

解：

设顶角 $θ \in (0, π)$ ， $v = sin \frac{θ}{2} \in (0, 1)$ 。底边 $= 2 v$ ，半周长 $p = 1 + v$ ，面积 $S = \frac{1}{2} sin θ = v 1 - v^{2}$ 。连接内心和三个顶点，把三角形分成 $3$ 个高都是 $r$ 的小三角形，所以 $S = p r$ ， $r = \frac{v 1 - v ^{2}}{1 + v}$ 。 $r > 0$ ，看平方： $r^{2} = \frac{v ^{2} ( 1 - v )}{1 + v} =: w (v)$ 。商的导数： $w^{'} (v) = \frac{( 2 v - 3 v ^{2} ) ( 1 + v ) - ( v ^{2} - v ^{3} )}{( 1 + v ) ^{2}} = \frac{2 v ( 1 - v - v ^{2} )}{( 1 + v ) ^{2}}$ 。 $1 - v - v^{2}$ 在 $(0, 1)$ 内递减，零点 $v_{0} = \frac{5 - 1}{2}$ ，所以 $w$ 先增后减， $v_{0}$ 处最大。 $v \to 0$ 或 $v \to 1$ 时 $w \to 0$ ，这是退化情形。由 $v_{0}^{2} = 1 - v_{0}$ ， $v_{0} (1 + v_{0}) = 1$ ，得 $w (v_{0}) = v_{0}^{5} = 5 v_{0} - 3 = \frac{5 5 - 11}{2}$ 。

答案：

$r_{m a x} = \frac{5 5 - 11}{2}$ ，约等于 $0.300$ 。

进阶：切线放缩 · 先修：导数的四则运算

切线放缩：把每一项换成一次式

三个角的和固定时，如果能证明 $f (x) \geq k x + m$ 对所有需要的 $x$ 成立，三项相加， $x$ 的部分就成了常数。这条直线通常取在等边情形 $x = \frac{π}{3}$ 处的切线。不能只看切点附近，要在整个区间上证明：设差函数，用导数判断它的最小值就在切点。

例 4：切线放缩

求锐角三角形 $A BC$ 中 $tan A + tan B + tan C$ 的最小值。

怎么看出来：

三个角的同一个函数相加，和固定为 $π$ ，猜等边时取最小。用 $x = \frac{π}{3}$ 处的切线放缩。

解：

$(tan x)^{'} = \frac{1}{cos ^{2} x}$ ，在 $x = \frac{π}{3}$ 处等于 $4$ ，切线是 $y = 3 + 4 (x - \frac{π}{3})$ 。下面在整个 $(0, \frac{π}{2})$ 上证明切线在下方：设 $h (x) = tan x - 3 - 4 (x - \frac{π}{3})$ ， $h^{'} (x) = \frac{1}{cos ^{2} x} - 4$ 。 $0 < x < \frac{π}{3}$ 时 $cos x > \frac{1}{2}$ ， $h^{'} < 0$ ； $\frac{π}{3} < x < \frac{π}{2}$ 时 $h^{'} > 0$ 。所以 $h$ 在 $x = \frac{π}{3}$ 最小， $h (\frac{π}{3}) = 0$ ， $h \geq 0$ 。把 $A, B, C$ 分别代入相加， $4 (A + B + C - π) = 0$ ，得 $tan A + tan B + tan C \geq 33$ 。 $A = B = C = \frac{π}{3}$ 时取等。

答案：

最小值 $33$ 。

进阶：两个参数

两个参数：先对一个配方

式子里有参数 $a$ 和中间量 $t$ 时，先把 $t$ 固定，对 $a$ 配方，再对 $t$ 求最值。例如 $a^{2} + (t a - c)^{2} = (1 + t^{2}) (a - \frac{c t}{1 + t ^{2}})^{2} + \frac{c ^{2}}{1 + t ^{2}}$ ，所以对 $a$ 的最小值是 $\frac{c ^{2}}{1 + t ^{2}}$ 。核对 $t = 1, c = 2$ ： $a^{2} + (a - 2)^{2}$ 在 $a = 1$ 时最小，等于 $2$ ，公式给 $\frac{4}{2} = 2$ 。

真题

按这个方法练 · 23 题

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周期函数和另一条曲线相交：先限范围，再逐段数根

不要看草图猜根数。先用值域求 $x$ 必须落在的范围，这个范围可能无界，无界时要结合题给区间。能配对就配对，再把区间切成正弦、余弦单调的小段，每段用单调性和端点符号定出根数，最后单独看不足一段的尾巴。

完整讲解 · 例题 · 可练 7 题

一、是什么

记号：单位圆上的正弦和余弦

在圆心为原点、半径为 $1$ 的圆上，从 $(1, 0)$ 出发逆时针转动角 $x$ ，落点是 $(cos x, sin x)$ 。角用弧度表示， $π$ 表示 $18 0^{\circ}$ ，约为 $3.14$ ；负角表示顺时针转。常用值： $sin \frac{π}{6} = sin \frac{5 π}{6} = \frac{1}{2}$ ， $sin \frac{π}{2} = 1$ ， $cos 0 = 1$ ， $cos π = - 1$ 。看落点的高低和左右： $x$ 从 $0$ 到 $\frac{π}{2}$ ，纵坐标从 $0$ 升到 $1$ ；从 $\frac{π}{2}$ 到 $π$ ，又降回 $0$ 。所以 $sin x$ 在 $[0, \frac{π}{2}]$ 上严格递增，在 $[\frac{π}{2}, π]$ 上严格递减。 $x$ 从 $0$ 到 $π$ ，横坐标从 $1$ 减到 $- 1$ ，所以 $cos x$ 在 $[0, π]$ 上严格递减。正角 $x$ 和负角 $- x$ 的落点关于横轴对称，所以 $cos (- x) = cos x$ ， $sin (- x) = - sin x$ 。

周期和半波

$sin x$ 每隔 $2 π$ 重复一次， $2 π$ 叫周期，因为转一整圈回到同一点。 $sin x$ 在 $(0, π)$ 上为正，在 $(π, 2 π)$ 上为负，这样一段正的或负的叫一个半波。 $sin π x$ 的周期是 $2$ ，因为 $sin π (x + 2) = sin (π x + 2 π)$ 。

值域先限范围

$∣ sin x ∣ \leq 1$ ，所以 $sin x = g (x)$ 的根都满足 $- 1 \leq g (x) \leq 1$ 。例如 $cos x = \frac{∣ x ∣}{2}$ 中右边要不超过 $1$ ，所以 $∣ x ∣ \leq 2$ 。这个例子里无限长的数轴变成了有限区间。这个范围也可能无界： $sin x = \frac{1}{x}$ 只能得到 $∣ x ∣ \geq 1$ ，根有无穷多个，这时要看题目给的区间。

一段里怎么定根数

连续函数 $D (x)$ 在一段的两端异号时，这段内至少有一个根，因为连续曲线从负到正不能不经过 $0$ 。若 $D$ 在这一段严格单调，根最多一个。两者合起来就是恰好一个。一边严格递减、一边严格递增时，差函数严格递减，不用求导就能判断。

一个半波内的根关于中线对称

$sin x$ 在 $(0, π)$ 上关于 $x = \frac{π}{2}$ 对称，因为 $sin (π - x) = sin x$ 。 $0 < m < 1$ 时， $sin x$ 在 $[0, \frac{π}{2}]$ 上从 $0$ 严格增到 $1$ ，恰好经过 $m$ 一次；在 $[\frac{π}{2}, π]$ 上严格减回 $0$ ，又恰好经过一次。所以 $sin x = m$ 在这个半波内恰有 $2$ 个根，它们关于 $\frac{π}{2}$ 对称，和是 $π$ 。

先看一道例题

例 1：周期函数等于常数：成对求和

求方程 $sin π x = \frac{1}{2}$ 在 $[0, 7]$ 上所有根的和。

怎么看出来：

周期是 $2$ ，正半波在 $(0, 1), (2, 3), (4, 5), (6, 7)$ 。正弦在半波内先增后减， $\frac{1}{2}$ 又小于波峰 $1$ ，所以每个半波内有 $2$ 个根，并关于半波中线对称。

解：

右边为正，根只在正半波。在 $(0, 1)$ 内， $π x$ 在 $(0, π)$ ，正弦先增后减，恰有两个 $π x$ 使正弦等于 $\frac{1}{2}$ ，即 $π x = \frac{π}{6}$ 和 $\frac{5 π}{6}$ ，得 $x = \frac{1}{6}, \frac{5}{6}$ ，和是 $1$ 。周期为 $2$ ，所以第 $k$ 个半波的根是第 $0$ 个半波的根加上 $2 k$ ， $k = 0, 1, 2, 3$ 。每个半波两根，每根加 $2 k$ ，和为 $1 + 4 k$ 。总和 $1 + 5 + 9 + 13 = 28$ 。负半波上 $sin π x < 0$ ，没有根。端点 $x = 0, 7$ 处正弦为 $0$ ，也不是根。

答案：

所有根的和是 $28$ ，共 $8$ 个根。

二、什么时候想到它

题目里看到	应该想到
$sin$ 或 $cos$ 等于分式、对数或一次式，问根数	先用 $∣ sin x ∣ \leq 1$ 限定 $x$ 的范围
两边都对称，或换 $x$ 为 $- x$ 不变	只看一半，再配对，中心单独核对
$sin π x$ 、 $sin \frac{π x}{3}$ 这样的自变量	先求周期，再按半波切段
正弦、余弦等于常数，问根的和	先单独检查波峰、波谷和区间端点，其余根在半波内关于中线对称，成对相加。其他周期函数要先验证这一段确实对称
一增一减的两条曲线	差函数单调，配合端点符号定为恰好一个根
两边在同一段都上升或都下降	不能直接判定，要用导数（见进阶“导数判根数”）
$\frac{1}{x - a}$ 和周期函数相交	设 $u = x - a$ 平移（见进阶“平移找中心”）

三、怎么用

用值域限范围。解 $cos x = \frac{∣ x ∣}{2}$ ，右边不超过 $1$ ，所以 $∣ x ∣ \leq 2$ 。
找对称。若把 $x$ 换成 $- x$ 后值不变，就叫偶函数，图象关于纵轴对称。这里两边都是偶函数，根成对，只看 $x \geq 0$ 。 $x = 0$ 时左边 $1$ 、右边 $0$ ，所以中心不是根。
切成小段。 $[0, 2]$ 落在 $[0, π]$ 内，这一段 $cos x$ 严格递减， $\frac{x}{2}$ 严格递增，所以 $D (x) = cos x - \frac{x}{2}$ 严格递减。
看端点符号。 $D (0) = 1 > 0$ ， $D (2) = cos 2 - 1 < 0$ ，因为 $cos 2 < 1$ 。严格递减加上异号，恰好一个根。
合并并处理尾巴。 $x > 2$ 时没有根，所以正半轴恰好 $1$ 个根。负半轴对称也有 $1$ 个，总共 $2$ 个，它们的和是 $0$ 。

四、再做一道

例 2：折线和直线：公共端点只算一次

周期为 $2$ 的函数 $g$ 在 $[- 1, 1]$ 上满足 $g (x) = ∣ x ∣$ 。方程 $g (x) = \frac{x}{5}$ 有几个不同的实根？

怎么看出来：

$g$ 的值在 $0$ 和 $1$ 之间，所以 $0 \leq \frac{x}{5} \leq 1$ ，即 $0 \leq x \leq 5$ 。 $g$ 每一段都是直线，可以直接解。

解：

$x < 0$ 或 $x > 5$ 时没有根。由周期 $2$ ， $[1, 3]$ 上 $g (x) = ∣ x - 2∣$ ， $[3, 5]$ 上 $g (x) = ∣ x - 4∣$ 。 $[0, 1]$ 上 $g (x) = x$ ， $x = \frac{x}{5}$ 给 $x = 0$ 。 $[1, 2]$ 上 $g (x) = 2 - x$ ，由 $2 - x = \frac{x}{5}$ 得 $x = \frac{5}{3}$ ，在这段内。 $[2, 3]$ 上 $g (x) = x - 2$ ，得 $x = \frac{5}{2}$ ，在这段内。 $[3, 4]$ 上 $g (x) = 4 - x$ ，得 $x = \frac{10}{3}$ ，在这段内。 $[4, 5]$ 上 $g (x) = x - 4$ ，得 $x = 5$ ，是端点， $g (5) = g (1) = 1 = \frac{5}{5}$ ，成立。 $x = 5$ 也是下一段的端点，只算一次。不同的根是 $0, \frac{5}{3}, \frac{5}{2}, \frac{10}{3}, 5$ 。

答案：

$5$ 个不同的实根。

五、容易错在哪

不能只看图判断根数，振幅变化或曲线接近相切时，图上看不出来，要写出单调性或凹凸性。
每个半波不一定都有 $2$ 个根，要逐个代入端点和中点。尾巴不足半个周期时更要单独判断。
两边都上升或都下降时，不能由端点异号推出恰好一个根，只能推出至少一个。
乘分母化简后，要把分母为零的点去掉，不能算成根。
相邻两段的公共端点若是根，只算一次。

进阶：导数判根数 · 先修：导数和二阶导数

求导判断一段内最多几个根

一段内 $D^{''} (x) < 0$ 时， $D^{'}$ 严格递减， $D$ 最多先增后减，所以最多 $2$ 个根。 $D^{''} (x) > 0$ 时同样最多 $2$ 个根。这就是凹凸性。半波内根数常这样判断：正弦为正时 $(sin x)^{''} = - sin x < 0$ ，再加上一次函数不改变二阶导数。这比画图可靠。振幅变化时，每个半波都要重新代入端点和中点。

例 3：正弦和直线

方程 $sin x = \frac{x}{10}$ 有几个实根？

怎么看出来：

一次函数的二阶导数是 $0$ ，所以正半波内部差函数的二阶导数为负，每个半波最多 $2$ 个根。限范围得 $∣ x ∣ \leq 10$ 。

解：

两边都是奇函数， $x = 0$ 是根，其余的根成对，只看 $0 < x \leq 10$ 。设 $D (x) = sin x - \frac{x}{10}$ 。 $x$ 在 $(π, 2 π)$ 和 $(3 π, 4 π)$ 内时 $sin x < 0 < \frac{x}{10}$ ，没有根。 $10 < 4 π$ ，所以 $(3 π, 10]$ 也没有根， $x = 3 π$ 处 $D < 0$ 。第一段 $[0, π]$ ： $(0, π)$ 内 $D^{''} = - sin x < 0$ ，所以 $D$ 严格凹，最多 $2$ 个根，已有根 $x = 0$ ，加上 $D (\frac{π}{2}) > 0$ ， $D (π) < 0$ ，在 $(0, π)$ 内恰有 $1$ 个根。第二段 $[2 π, 3 π]$ ： $D (2 π) < 0$ ， $D (3 π) < 0$ ， $D (\frac{5 π}{2}) = 1 - \frac{π}{4} > 0$ ，所以至少 $2$ 个根；这段内部 $D^{''} < 0$ ，最多 $2$ 个，恰有 $2$ 个。正半轴共 $3$ 个。总数 $3 + 3 + 1 = 7$ 。

答案：

$7$ 个实根。

进阶：平移找中心 · 先修：函数的奇偶性，导数和二阶导数

对称中心和分式

$\frac{1}{x - a}$ 关于点 $(a, 0)$ 对称， $x = a$ 处没有定义。设 $u = x - a$ 平移后，再看整个方程是否只依赖 $u$ 的偶函数或奇函数。方程若对 $u$ 是偶的，根就按 $\pm u$ 配对，每对对应的 $x$ 之和是 $2 a$ 。乘分母时不要把 $x = a$ 补成根。

例 4：平移后看出中心

设 $g (x) = sin π x + \frac{1}{x - 1} + 3$ （ $x \neq = 1$ ）。求 $g$ 图象的对称中心。若 $g (m) = 10$ ，求 $g (2 - m)$ 。

怎么看出来：

分式的中心在 $x = 1$ ，所以设 $u = x - 1$ 。 $sin π (1 + u) = - sin π u$ ，它和 $\frac{1}{u}$ 都是 $u$ 的奇函数。

解：

$g (1 + u) = - sin π u + \frac{1}{u} + 3$ ， $g (1 - u) = sin π u - \frac{1}{u} + 3$ 。两式相加，得 $g (1 + u) + g (1 - u) = 6$ 对所有 $u \neq = 0$ 成立，所以中心是 $(1, 3)$ 。 $m$ 和 $2 - m$ 关于 $1$ 对称（ $g (m)$ 有意义，所以 $m \neq = 1$ ），于是 $g (2 - m) = 6 - g (m) = - 4$ 。检查：取 $u = \frac{1}{2}$ ， $g (\frac{3}{2}) = - 1 + 2 + 3 = 4$ ， $g (\frac{1}{2}) = 1 - 2 + 3 = 2$ ，和为 $6$ 。

答案：

中心是 $(1, 3)$ ， $g (2 - m) = - 4$ 。

进阶：合成正弦 · 先修：和角公式

合成一个三角函数

$sin x + cos x = 2 sin (x + \frac{π}{4})$ ，用和角公式展开就能核对。一般地 $a, b$ 不全为零时， $a sin x + b cos x = R sin (x + φ)$ ， $R = a^{2} + b^{2}$ 。合成后， $∣ m ∣ < R$ 时，等于 $m$ 的相邻两个根关于它们之间的波峰或波谷对称。例如 $sin x + cos x = 1$ 在 $[0, 2 π)$ 内的根是 $0$ 和 $\frac{π}{2}$ 。两者的和 $\frac{π}{2}$ 等于波峰位置 $\frac{π}{4}$ 的 $2$ 倍。

进阶：相切 · 先修：导数的几何意义

恰好几个交点：常常是相切

过原点的直线绕原点转动时，它与一条起伏曲线的交点数会跳变。在整条曲线上，没有区间端点和定义域边界时，跳变那一刻通常是直线和曲线的一个波相切。如果只看一段区间，交点也可能从端点进出，这时不相切。设切点横坐标为 $α$ ，相切给出两条方程：函数值相等，导数也相等。用这两条方程可以消去斜率，得到 $α$ 满足的关系。注意这里要先说明为什么恰好这个交点数只能发生在相切时，不能直接认定。

真题

按这个方法练 · 7 题

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三角方程：先把所有的角列全，再逐个筛选

一个正弦值在 $(0, π)$ 内可能对应两个角。先把所有可能都写出来，再用内角和、分母不为零这些条件一个个检查。只要求某个组合式时，不必把角解出来。

完整讲解 · 例题 · 可练 47 题

一、是什么

记号：由函数值反求角

在圆心为原点、半径为 $1$ 的圆上，从 $(1, 0)$ 出发转动角 $x$ （逆时针为正， $π$ 表示 $18 0^{\circ}$ ），落点的横坐标叫 $cos x$ ，纵坐标叫 $sin x$ ，所以 $sin^{2} x + cos^{2} x = 1$ 。关于纵轴翻折， $x$ 变成 $π - x$ ，纵坐标不变，横坐标变号，所以 $sin (π - x) = sin x$ ， $cos (π - x) = - cos x$ 。常用值： $sin \frac{π}{6} = \frac{1}{2}$ ， $sin \frac{π}{3} = \frac{3}{2}$ ， $cos \frac{π}{3} = \frac{1}{2}$ ， $cos \frac{π}{6} = \frac{3}{2}$ 。三角形的内角在 $(0, π)$ 内。在 $(0, π)$ 内，正弦值 $s$ （ $0 < s < 1$ ）对应 $2$ 个角 $x$ 和 $π - x$ ； $cos$ 递减，余弦值只对应 $1$ 个角。所以三角形中由 $sin A$ 反求角要写两支，由 $cos A$ 反求角只有一支。

用内角和筛选

三角形中 $A + B < π$ 。如果某个角太大，加上另一个角就超过 $π$ ，这一支就要去掉。比较角的大小时可以比较余弦，因为 $cos$ 在 $(0, π)$ 上递减： $cos B = \frac{3}{5} < \frac{3}{2} = cos \frac{π}{6}$ ，所以 $B > \frac{π}{6}$ 。此时 $A = \frac{5 π}{6}$ 就不行，因为 $A + B > π$ 。

和角、二倍角公式

$cos (A + B) = cos A cos B - sin A sin B$ ， $sin (A + B) = sin A cos B + cos A sin B$ 。取 $A = B = x$ 得 $sin 2 x = 2 sin x cos x$ 。三角形中 $C = π - (A + B)$ ，所以 $cos C = - cos (A + B)$ 。

不能随便约：约掉的式子可能是零

解 $sin 2 x = sin x$ ，移项得 $sin x (2 cos x - 1) = 0$ ， $sin x = 0$ 这一支也是解。如果两边直接约去 $sin x$ ，就丢了这一支。反过来，原式分母上的式子化简后消失了，它的零点仍然不能取。例如 $\frac{sin 2 x}{sin x} = 2 cos x$ 只在 $sin x \neq = 0$ 时成立。

先看一道例题

例 1：内角和排除一支

$△ A BC$ 中， $sin A = \frac{1}{2}$ ， $cos B = \frac{3}{5}$ ，求 $cos C$ 。

怎么看出来：

$sin A$ 给两个角，要用 $B$ 的大小排除一个。

解：

$A = \frac{π}{6}$ 或 $\frac{5 π}{6}$ 。 $cos B = \frac{3}{5} < \frac{3}{2} = cos \frac{π}{6}$ ， $cos$ 递减，所以 $B > \frac{π}{6}$ 。若 $A = \frac{5 π}{6}$ ，则 $A + B > π$ ，不可能。所以 $A = \frac{π}{6}$ ， $cos A = \frac{3}{2}$ 。又 $sin B = 1 - \frac{9}{25} = \frac{4}{5}$ （ $B$ 是内角， $sin B > 0$ ）。 $cos C = - cos (A + B) = - cos A cos B + sin A sin B = - \frac{3}{2} \cdot \frac{3}{5} + \frac{1}{2} \cdot \frac{4}{5} = \frac{4 - 3 3}{10}$ 。

答案：

$cos C = \frac{4 - 3 3}{10}$ 。

二、什么时候想到它

题目里看到	应该想到
三角形中已知 $sin A$ 的值	写出 $A$ 和 $π - A$ 两种可能，再用内角和筛
方程两边有公共因式，或分母含未知角	移项分解，不约；写下分母不为零的条件
两个集合相等	列出每种配对，也看只有 $1$ 个元素的情形（见进阶“集合相等”）
只求一个组合式的值	把已知关系整理后直接代，不解角（见进阶“不解角求值”）
$sin A = cos B$	$cos B$ 换成 $sin (\frac{π}{2} - B)$ ，再分两支（见进阶“正弦等于余弦”）
已知 $sin A$ ，求另外两角的式子的范围	两支分别求范围，取并集（见进阶“两支分别求范围”）

三、怎么用

写出所有可能的角。例如三角形中 $sin A = \frac{1}{2}$ ， $cos B = \frac{3}{5}$ ： $A = \frac{π}{6}$ 或 $\frac{5 π}{6}$ ， $B$ 只有 $1$ 个值。
列出限制条件：内角和小于 $π$ ，分母不为零，题目要求的锐角或钝角。这里只有 $A + B < π$ 。
逐支检查。 $\frac{3}{5} < \frac{3}{2}$ ，所以 $B > \frac{π}{6}$ ， $A = \frac{5 π}{6}$ 时 $A + B > π$ ，舍去。
用剩下的分支算目标，再代回检查。 $A = \frac{π}{6}$ 时 $A + B < \frac{π}{6} + \frac{π}{2} < π$ （ $cos B > 0$ 说明 $B < \frac{π}{2}$ ），符合。

四、再做一道

例 2：分子分解，分母筛选

在 $[0, 2 π)$ 内解方程 $\frac{sin 2 x - sin x}{cos x - 1} = 0$ 。

怎么看出来：

分式等于 $0$ ，就是分子为 $0$ 且分母不为 $0$ 。分子有公因式 $sin x$ ，不能约。

解：

分母不为零： $cos x \neq = 1$ ，即 $x \neq = 0$ 。分子： $2 sin x cos x - sin x = sin x (2 cos x - 1) = 0$ 。 $sin x = 0$ 时 $x = 0$ 或 $π$ ； $cos x = \frac{1}{2}$ 时 $x = \frac{π}{3}$ 或 $\frac{5 π}{3}$ （ $2 π - x$ 和 $x$ 的余弦相同）。去掉 $x = 0$ 。检查 $x = π$ ：分子 $0$ ，分母 $- 2$ ，成立。

答案：

$x = \frac{π}{3}, π, \frac{5 π}{3}$ 。

五、容易错在哪

由 $sin A$ 反求角，只写锐角会漏掉 $π - A$ 。
两边约去含未知数的式子会丢解；分母化简后消失了，它的零点仍然不能取。
求出平方的值后，开方要看角的范围，不能直接取正的。
每一支分别得到范围后要取并集，不能把中间的空隙填上。
三角形的角不能取 $0$ 和 $π$ ，边界值往往取不到。

进阶：集合相等

集合相等：每种配对都试

${p, q} = {u, v}$ 只有两种可能： $p = u, q = v$ ，或 $p = v, q = u$ 。集合里的元素相同时只写一个，所以还要考虑两边都只有 $1$ 个元素的情形，比如 ${sin x, cos x}$ 在 $sin x = cos x$ 时只有 $1$ 个元素。

例 3：集合相等

$x \in [0, 2 π)$ ，且 ${sin x, cos x} = {\frac{1}{2}, \frac{3}{2}}$ ，求 $x$ 。

怎么看出来：

右边有 $2$ 个不同的元素，左边两个元素也要不同，分两种配对。

解：

配对 1： $sin x = \frac{1}{2}, cos x = \frac{3}{2}$ ，两个都为正，落点在第一象限， $x = \frac{π}{6}$ 。配对 2： $sin x = \frac{3}{2}, cos x = \frac{1}{2}$ ， $x = \frac{π}{3}$ 。只有 $sin x$ 相同的另一个角 $\frac{5 π}{6}$ 不行，因为它的余弦是负数。

答案：

$x = \frac{π}{6}$ 或 $\frac{π}{3}$ 。

进阶：不解角求值

目标是组合式：不解角，直接凑

已知 $cos^{2} θ = sin θ$ 这样的关系，求一个组合式时，先把已知关系整理成“某个式子等于几”，再让目标式用上它。求出平方的值后，开方要看角的范围： $cos^{2} C = \frac{1}{4}$ 时， $C$ 是锐角才有 $cos C = \frac{1}{2}$ ，钝角时 $cos C = - \frac{1}{2}$ 。

例 4：不解角直接求值

锐角 $θ$ 满足 $cos θ = tan θ$ ，求 $\frac{1}{sin θ} - sin θ$ 的值。

怎么看出来：

把条件化成 $sin θ$ 的关系，目标通分后正好能用上。

解：

$tan θ = \frac{sin θ}{cos θ}$ ， $θ$ 是锐角， $cos θ > 0$ ，两边乘 $cos θ$ 得 $cos^{2} θ = sin θ$ 。目标通分： $\frac{1}{sin θ} - sin θ = \frac{1 - sin ^{2} θ}{sin θ} = \frac{cos ^{2} θ}{sin θ} = \frac{sin θ}{sin θ} = 1$ （ $sin θ > 0$ ，可以除）。检查：由 $1 - s^{2} = s$ 得 $s = sin θ = \frac{5 - 1}{2} \in (0, 1)$ ，这样的锐角确实存在， $\frac{1}{s} - s = 1$ 。

答案：

$1$ 。

进阶：正弦等于余弦

正弦等于余弦：换成同名函数

$cos B = sin (\frac{π}{2} - B)$ （互余的角，正弦和余弦互换）。所以 $sin A = cos B$ 就是 $sin A = sin (\frac{π}{2} - B)$ 。 $A \in (0, π)$ 时要分两支： $A = \frac{π}{2} - B$ ，或 $A = π - (\frac{π}{2} - B) = \frac{π}{2} + B$ 。第 $1$ 支是 $A + B = \frac{π}{2}$ ，第 $2$ 支是 $A - B = \frac{π}{2}$ ，后者 $A$ 是钝角，很容易漏。

例 5：正弦等于余弦，留下钝角那一支

$△ A BC$ 中， $C = \frac{π}{4}$ ， $sin A = cos B$ 。求 $A, B$ 。

怎么看出来：

$sin A = cos B$ 有两支； $C$ 已知，就知道 $A + B$ ，可以判断哪一支留下。

解：

$A + B = \frac{3 π}{4}$ 。由 $cos B = sin (\frac{π}{2} - B)$ ：第 $1$ 支 $A + B = \frac{π}{2}$ ，与 $\frac{3 π}{4}$ 矛盾，舍去。第 $2$ 支 $A - B = \frac{π}{2}$ ，与 $A + B = \frac{3 π}{4}$ 联立，得 $A = \frac{5 π}{8}, B = \frac{π}{8}$ 。检查： $sin \frac{5 π}{8} = sin (\frac{π}{2} + \frac{π}{8}) = cos \frac{π}{8}$ ，成立。

答案：

$A = \frac{5 π}{8}, B = \frac{π}{8}$ 。

进阶：两支分别求范围 · 先修：和差化积

每一支分别求范围，再取并集

已知 $sin A$ 而求范围时，两支 $A$ 给出的范围可能中间隔开。不能用一个大区间把中间填上。要用到和差化积： $cos B + cos C = 2 cos \frac{B + C}{2} cos \frac{B - C}{2}$ 。它由 $cos (u + v) + cos (u - v) = 2 cos u cos v$ 得到， $u = \frac{B + C}{2}, v = \frac{B - C}{2}$ 。

例 6：两支的范围中间隔开

$△ A BC$ 中 $sin A = \frac{3}{2}$ ，求 $cos B + cos C$ 的取值范围。

怎么看出来：

$A$ 有两个值， $B + C$ 就有两个值。和差化积后，每一支只剩 $\frac{B - C}{2}$ 在变。

解：

$A = \frac{π}{3}$ 或 $\frac{2 π}{3}$ 。设 $d = \frac{B - C}{2}$ ，则 $cos B + cos C = 2 cos \frac{B + C}{2} cos d$ 。 $A = \frac{π}{3}$ 时 $\frac{B + C}{2} = \frac{π}{3}$ ，式子是 $cos d$ 。 $B, C > 0$ 且 $B + C = \frac{2 π}{3}$ ，所以 $∣ d ∣ < \frac{π}{3}$ ， $cos d \in (\frac{1}{2}, 1]$ ， $d = 0$ 时取 $1$ ， $\frac{1}{2}$ 取不到。 $A = \frac{2 π}{3}$ 时 $\frac{B + C}{2} = \frac{π}{6}$ ，式子是 $3 cos d$ 。 $B + C = \frac{π}{3}$ ， $∣ d ∣ < \frac{π}{6}$ ， $cos d \in (\frac{3}{2}, 1]$ ，式子的范围是 $(\frac{3}{2}, 3]$ 。 $d$ 连续变化，这些值都能取到。 $(1, \frac{3}{2}]$ 里的值两支都取不到。

答案：

$(\frac{1}{2}, 1] \cup (\frac{3}{2}, 3]$ 。

真题

按这个方法练 · 47 题

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误区对照

容易误以为

在 $△ A BC$ 中，已知 $A = 12 0^{\circ}, b = 3, c = 5$ ，求 $∠ A$ 的内角平分线长 $l_{a}$ 时，误用半角正弦写成 $l_{a} = \frac{2 b c sin ( A /2 )}{b + c} = \frac{15 3}{8}$ 。

应当这样想

由等面积法 $S_{△ A BC} = S_{△ A B D} + S_{△ A C D}$ ，即 $\frac{1}{2} b c sin A = \frac{1}{2} (b + c) l_{a} sin \frac{A}{2}$ ，利用倍角公式 $sin A = 2 sin \frac{A}{2} cos \frac{A}{2}$ 约去 $sin \frac{A}{2}$ ，分子必为半角余弦 $cos \frac{A}{2}$ ： $l_{a} = \frac{2 b c cos ( A /2 )}{b + c} = \frac{2 \times 3 \times 5 \times cos 6 0 ^{\circ}}{3 + 5} = \frac{15}{8}$ 。

为什么

两个子三角形的面积公式含 $sin (A /2)$ ，而大三角形面积含 $sin A = 2 sin (A /2) cos (A /2)$ ，两边消去 $sin (A /2)$ 后留下的因子是 $cos (A /2)$ 。

容易误以为

在 $△ A BC$ 中，把全角余切关系误记成与全角正切相同的形式 $cot A + cot B + cot C = cot A cot B cot C$ 。

应当这样想

因 $A + B + C = π$ ，全角满足 $tan A + tan B + tan C = tan A tan B tan C$ （非直角），两边同除以 $tan A tan B tan C$ 化为余切后是两两乘积之和等于 $1$ ： $cot A cot B + cot B cot C + cot C cot A = 1$ ；而“和等于积”对余切仅在半角（因 $\frac{A}{2} + \frac{B}{2} + \frac{C}{2} = \frac{π}{2}$ ）时成立： $cot \frac{A}{2} + cot \frac{B}{2} + cot \frac{C}{2} = cot \frac{A}{2} cot \frac{B}{2} cot \frac{C}{2}$ 。

为什么

角和为 $π$ 时正切满足和等于积、余切满足两两积之和为 $1$ ；角和为 $π /2$ （即三个半角）时正余切互余，角色恰好对调。

概念自测

先想清楚，再确认判断。这些自测只帮助辨清概念，不计入真题做对率。

真题 · 206 道

从易到难排列。圆点表示你在这台设备上的做题情况：绿色做对、黄色部分做对、红色没做出。

三角函数综合

从这里开始

从边角关系得到候选，再筛选三角形

知识要点

方法卡

三角形里的三角等式：消去一角，写成乘积再分情况

一、是什么

记号和三角形的角

消去一角

和角公式

和差化积

正弦相等不一定角相等

先看一道例题

例 1：判断三角形形状

二、什么时候想到它

三、怎么用

四、再做一道

例 2：已知一角求范围

五、容易错在哪

边和角互换：正弦定理

合成一个三角函数

相差 π 比较：分开一次项和二次项

例 3：恒成立不等式求系数的最大值

平方相加：换成角的和或差

例 4：平方相加求角差

三角形的余弦平方和

例 5：余弦平方和判形状

循环式：拆成对称部分和角差部分

边和角混在一起：用正弦、余弦定理统一成一种

一、是什么

记号和面积公式

正弦定理：边和对角成比例

余弦定理：两边和夹角求第三边

三条边的限制

先看一道例题

例 1：先余弦，后正弦

二、什么时候想到它

三、怎么用

四、再做一道

例 2：把角换成边，判断形状

五、容易错在哪

把条件凑成余弦定理

斯特瓦尔特式：连到底边一点的线段

中线和角平分线

例 3：由中线求边和面积

半角的高次和

边化角求范围

例 4：锐角条件下边的比

例 5：三边是连续式

含正切的分式和半角：用和角公式合并，或设半角正切化成有理式

一、是什么

记号：正切和特殊值

正切的和角公式

旋转结构

半角正切：把正弦和余弦写成一个分式

这个设法漏掉 θ=π

先看一道例题

例 1：设半角正切解方程

二、什么时候想到它

三、怎么用

四、再做一道

例 2：认出和角结构

五、容易错在哪

全角正切和余切

半角余切

比例条件和边的比

例 3：和与积的关系

例 4：半角余切

均值不等式：和的下界

例 5：半角加均值

反三角函数和主值

例 6：主值不能直接约

例 7：由半角正切的积反求边比

三角式化成一个变量：用平方关系，再配方或作差

一、是什么

单位圆：sinx、cosx 和弧度

特殊角怎么算

用平方关系统一

顶点可能在区间外

存在零点：把零点的 t 当参数

相差 $π$ 比较：分开一次项和二次项

这个设法漏掉 $θ = π$

单位圆： $sin x$ 、 $cos x$ 和弧度

存在零点：把零点的 $t$ 当参数

恒成立：分离参数要看 $t$ 的正负