培玉 · 一试
2014 年山西预赛 · 第 9 题
F3解答题平面几何综合
如图， 的内切圆切 边于 ，点 分别是 、 的内心。证明：。
作答
这是解答题，请在纸上写出完整过程。写完后对照解答给自己评分。
解析
提示
分别给两个小三角形补出内切圆。
思路
证明它们在共同边AD上的切点相同，就能让两内心都位于AD的同一条垂线上。
解答
设 。原内切圆的切线长关系给
设 的内切圆在AD上的切点为T， 的内切圆在AD上的切点为S。由三角形切线长公式，
两式相等，且T、S都在线段AD内，故T=S。小内切圆半径垂直切线，因而 、，共同垂足相同，所以
复核
两个小三角形均非退化，内切圆与其边的切点位于边内部。E、F分处AD两侧，因为它们分别在两个小三角形内部；所以两内心互异，共同垂线确定EF。
方法总结
证明两内心连线垂直共同边时，可比较两个内切圆在共同边上的切点，切线长差通常由大三角形的接触分段消去。
为什么评为 F3（会透露解法方向）
两个小三角形的内心连线要垂直公共边，可先比较其内切圆在公共边上的切点；大三角形切线长关系恰能消掉两切点距离的差，再核两内心互异。
已记下，谢谢！