培玉 · 一试

专题地图 › 递推数列

2013 年中科大少年班初试 · 第 5 题

F3解答题递推数列

数列 ${a_{n}}$ 各项均为正数，且 $a_{n + 1} = a_{n} + c a_{n}^{2} (c > 0 为常数)$ 。

(1)
求证：对任意正数 $M$ ，存在 $N \in N^{*}$ ，当 $n > N$ 时有 $a_{n} > M$ ；
(2)
设 $b_{n} = \frac{1}{1 + c a _{n}}$ ， $S_{n}$ 是 ${b_{n}}$ 的前 $n$ 项和，求证：对任意 $d > 0$ ，存在 $N \in N^{*}$ ，当 $n > N$ 时有 $0 < S_{n} - \frac{1}{c a _{1}} < d$ 。

作答

这是解答题，请在纸上写出完整过程。写完后对照解答给自己评分。

解析

为什么评为 F3（会透露解法方向）

学生需自行构造增长下界和倒数裂项，再把指定误差转成a足够大；第二问借第一问仍保留裂项判断。

用到的方法（会透露解法方向）

核心工具：递推的不变区间与临界值、裂项相消

专题卡：前缀作差找递推，长和只留首尾、数列只问范围：不变区间、单调和夹逼