2022 年重庆预赛

解答

设外接圆半径为 $R$。由正弦定理，

且 $c=4R\sin (C/2)\cos (C/2)$。代入题设并约去正因子，得到

令 $x=A/2,y=B/2$，利用 $C/2=\pi /2-x-y$ 展开上式，化简为

因 $0<B<\pi$，故 $\cos A=-1/2$，即 $A=120^{\circ }$。

由余弦定理且 $a=2$，

中线公式给出

又 $bc\le (b^2+c^2)/2$，所以

即 $b^2+c^2\ge 8/3$。当 $b=c$ 时等号成立，故