2015 年河北预赛 · 第 3 题

解答

令 $t=\tan \beta >0$，则 $\tan (\alpha -\beta )=2t/(1+3t^2)$。由 $1+3t^2\ge 2\sqrt{3}t$，得 $\tan (\alpha -\beta )\le 1/\sqrt{3}$。因 $0\le \alpha -\beta <\pi /2$，正切严格递增，故角差最大值为 $\boxed{\pi /6}$。当 $t=1/\sqrt{3}$ 时 $\beta =\pi /6,\alpha =\pi /3$，达到最大值。