专题地图 › 三角函数综合
2022 年甘肃预赛
面积条件下的三角形周长
F2解答题三角函数综合
△ABC 的内角 A,B,C 的对边分别为 a,b,c，已知 △ABC 的面积为
3sinAa2.
（1）求 sinBsinC；
（2）若 6cosBcosC=1，a=3，求 △ABC 的周长。
作答
这是解答题，请在纸上写出完整过程。写完后对照解答给自己评分。
解析
提示
把 b,c 用正弦定理写成 a 与三个角的函数，即可从面积条件得到 sinBsinC。
想想一道相关的题
先回想这道题的想法，再试试当前题。
试着想起：2024 年甘肃预赛 · P006459
已知 △ABC 的外接圆半径为 2，且
2sinBsinC=1,cos2A+3sin22B+C−1=0,
则 △ABC 的面积为。
思路
第二问再把 sinBsinC 与 cosBcosC 分别组合成 cos(B+C)、cos(B−C)，从而求出 A 及 b+c。
解答
（1）由正弦定理，
b=sinAasinB,c=sinAasinC.
所以三角形面积为
21bcsinA=2sinAa2sinBsinC.
与题设比较，得到
sinBsinC=32.
（2）由 6cosBcosC=1 及（1），
cos(B+C)=cosBcosC−sinBsinC=61−32=−21.
而 B+C=π−A，故 cosA=1/2，从而 A=π/3。又
cos(B−C)=cosBcosC+sinBsinC=65.
于是
sinB+sinC=2sin2B+Ccos2B−C=2⋅23⋅21+5/6=211.
再次利用正弦定理，
b+c=asinAsinB+sinC=3⋅3/211/2=33.
因此周长为
3+33.
复核
B,C∈(0,π)，所以半角余弦取正值；由 A=π/3 得 B+C=2π/3，与 cos(B+C)=−1/2 一致。
方法总结
面积条件中同时出现边与角时，可用正弦定理把边统一到同一尺度。
已知 sinBsinC、cosBcosC 后，优先构造 cos(B+C) 与 cos(B−C)，分别控制角和与边和。
为什么评为 F2（会透露解法方向）
面积公式直接给sin B sin C，再与余弦积求A及cos(B-C)，按半角和差公式得sin B+sin C并还原边长和，路线常规。
用到的方法（会透露解法方向）
核心工具：正弦定理与余弦定理
专题卡：三角形里的三角等式：消去一角，写成乘积再分情况、边和角混在一起：用正弦、余弦定理统一成一种
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同一骨架 2024 年甘肃预赛 · P006459
面积、边长与三角函数混合时，两题都先用正弦定理统一尺度，把面积表达写成几个正弦的乘积；再结合角和关系，分别恢复目标所需的角或边和。
一题已知外接圆尺度而直接求面积，另一题从面积表达反推出角的乘积，再用和角、差角处理周长。
培玉 · 一试