专题地图 › 向量的数量积与几何意义
任给五个不同实数,是否必能选出a、b,使(1+ab)/(1+a2)(1+b2)>1/2?
分数写 a/b,根号写 √ 或 sqrt,π 写 pi 也可以。
反正切把实数顺序转为有限角间隙。
将五个反正切值按递增排列,都在(-π/2,π/2),四个相邻间隙之和严格小于π,故至少一个间隙小于π/4。对应a、b的题中比值恰为该间隙的余弦,严格大于1/√2。 所求为 必能。
反正切余弦为正,归一化表达式没有符号歧义。
核心工具:整体换元并求新变量范围、抽屉原理与极端构造
专题卡:向量夹角是锐角或钝角:先看数量积的正负,再排除共线
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