2013 年湖南预赛 · 第 11 题

解答

$a_{n+1}+1=2(a_n+1)$，故 $\boxed{a_n=2^n-1}$。又 $\frac{a_k}{a_{k+1}}=\frac{1}{2}-\frac{1}{2(2^{k+1}-1)}$。因为 $2^{k+1}-1\ge 3\cdot 2^{k-1}$，有 $0<{\sum }_{k=1}^n\frac{1}{2(2^{k+1}-1)}\le \frac{1}{6}{\sum }_{k=1}^n{2}^{1-k}=\frac{1}{3}(1-2^{-n})<\frac{1}{3}$。从 $n/2$ 减去此量便得 $\boxed{\frac{n}{2}-\frac{1}{3}<\sum _{k=1}^n\frac{a_k}{a_{k+1}}<\frac{n}{2}}$。