培玉 · 一试
一试训练题
F2填空题排列组合
从中选出3个不同数字组成四位数（其中的一个数字用2次），如5224，则这样的四位数共有个。
作答
分数写 a/b，根号写 √ 或 sqrt，π 写 pi 也可以。
标准答案：
解析
提示
先把首位也允许为零，统一成含一个重复数字的四位数字串。
思路
再明确首零串所占比例，或按零是否为重复数字分类扣除；使用对称性时，应给出数字重命名的一一对应。
解答
暂允许首位为0。先选三个数字，再选重复数字，再排多重集，得到个四位数字串。所有数字地位对称，每个数字作首位的串数相同，因此首位为0的恰占十分之一，四位数共有个。数字重命名给出了首位类别间的双射。
复核
首零的坏串可独立数出：重复数为0时，另两非零数字有 种、后三位排列6种，计216；重复数非零时，选重复数9种、另一非零数8种，后三位排法3种，也计216。坏串432个正好是全部4320串的十分之一。
方法总结
多重集排列先固定哪些值重复，再除去相同副本交换的重数。首位禁零可以利用数字重命名对称性，但这种对称性只在暂不限制首位的数字串总体中成立，不能直接对合法整数使用。
为什么评为 F2（会透露解法方向）
需识别并应用多重集排列；数字对称模型
已记下，谢谢！