易混 2025 年吉林预赛 · P006284
两题消元后都只剩一个实变量，但最优点能否取到受原约束决定。定长弦转换出的正参数有明确下界，基本不等式的等号点须落在其上；受限二次函数的顶点也必须与参数给出的区间端点比较。
全域最值公式只提供候选。先写参数真正允许的范围，再决定内部取等还是边界取等。
培玉 · 一试
2025 年云南预赛
抛物线定长弦中点到横轴的最短距离
F3填空题抛物线
设 为抛物线 上的定长动弦，且 （）。则 的中点 到 轴的最短距离为。
作答
分数写 a/b，根号写 √ 或 sqrt，π 写 pi 也可以。
标准答案：
解析
提示
以弦的两个横坐标的平均数和半差作参数，弦长条件可以消去半差，中点纵坐标便成为一个单变量式。
思路
再把 作为正变量，用基本不等式求其最小值。
解答
设
则中点
且
因此
由于 的纵坐标非负，它到 轴的距离为
令 ，则
因 ，取 合法，此时等号成立。故最短距离为
复核
取 ，再令 ，所得两个点确实不同且弦长为 ，故下界可达。 的边界对应 ，结论仍成立。
方法总结
抛物线定长弦问题常用“横坐标平均数 与半差 ”参数化。中点只含 ，弦长又能给出 ，于是几何最值化成受下界约束的一元代数最值。
为什么评为 F3（会透露解法方向）
需用平均横坐标与半差参数同时简化中点和弦长，消去半差后换元，并利用a大于等于1保障等号可达。
联系 · 2 条
垫脚石（此题 → 相关题） 2026 年甘肃预赛 · P005996
先练用端点参数的平均数与半差表示中点和弦长，再处理焦半径和固定后的双动点面积。两题都用几何约束消去一个参数，把剩下的长度或面积化成有明确可行范围的实变量最值，并构造真实弦验证等号。
前题由定长关系消半差，后题由平方和固定改用参数乘积或半差；不能直接沿用另一题的可行区间和驻点。
已记下，谢谢！