一试训练题

解答

按古典概型，把满足题设的全部合法染色方案视为等可能结果。这里相邻指两个区域有公共边界线段。由原图，$E$ 分别与 $A,B,C,D$ 相邻，外围区域依次有 $AB,BC,CD,DA$ 四对相邻，$A,C$ 以及 $B,D$ 均不相邻。

$E$ 的颜色有 $5$ 种选择。固定该颜色后，四个外围区域都只能使用其余四种颜色，分为两类：

1. (1)

   $A,C$ 同色。它们的公共颜色有 $4$ 种选择。$B,D$ 各只需避开 $E$ 与 $A$ 的两种颜色，而且彼此不相邻，所以各有 $3$ 种选择。方案数为 $5\times 4\times 3\times 3=180$。

2. (2)

   $A,C$ 异色。$A$ 有 $4$ 种选择，$C$ 有 $3$ 种选择。此时 $E,A,C$ 三色互不相同，$B,D$ 各须避开这三色，所以各有 $2$ 种选择。方案数为 $5\times 4\times 3\times 2\times 2=240$。

两类互斥且穷尽，合法方案总数为 $180+240=420$。因此所求概率为