2011 年湖南预赛 · 第 13 题

解答

（1）令 $h(t)=\ln (1+t)-2t/(t+2)$，有 $h(0)=0,h^{\prime }(t)=t^2/[(1+t)(t+2{)}^2]>0$。故 $\boxed{(1+2/t)\ln (1+t)>2}$。（2）有放回抽取的所有有序结果等可能，互异概率为 $p={\prod }_{j=0}^{19}(1-j/100)>0$。对 $1\le j\le 19$，在第一问取 $t=j/(100-j)$，得 $\ln (1-j/100)<-2j/(200-j)$。而 ${\sum }_{j=1}^{19}2j/(200-j)=400{\sum }_{j=1}^{19}1/(200-j)-38\ge 400\cdot 19^2/3610-38=2$，其中使用了正分母柯西。因此 $\ln p<-2$，即 $\boxed{p<e^{-2}}$。