培玉 · 一试
2017 年黑龙江预赛 · 第 18 题
F2解答题向量的数量积与几何意义
已知向量
且 分别是 三边 所对的角。
- (1)
求 的大小；
- (2)
若 成等比数列，且 ，求 的值。
作答
这是解答题，请在纸上写出完整过程。写完后对照解答给自己评分。
解析
提示
先展开数量积，用三角形内角和把两个角合成第三个角。
思路
第二问的正弦等比关系适合由正弦定理换成边长乘积，再与数量积给出的乘积对应。
解答
（1）由三角形内角和，
故 。三角形非退化，，所以 ，即
（2）三个正弦成等比数列，故
由正弦定理，三边与相应正弦成相同比例，因此 。又
所以 ，得到
复核
由余弦定理 ，结合 得 。于是 ，等边三角形满足原正弦等比与数量积条件。 对应退化图形，不能在第一问作为解保留。
方法总结
向量坐标含三角函数时，先识别和角公式。正弦的乘积关系可借正弦定理整体转成边长关系，不必逐个求另外两个角。
为什么评为 F2（会透露解法方向）
数量积转和角、正弦定理转边长比，连续标准转换，F2。
已记下，谢谢！