2012 年河北预赛（高三卷） · 第 11 题

解答

取 $S=(0,0,3),A=(-1,-1,0),B=(1,-1,0),C=(1,1,0),D=(-1,1,0)$，则 $K=(1/2,1/2,3/2)$，$AK$ 方向为 $(1,1,1)$。平面 $SBC$ 法向量为 $(3,0,1)$，所以 $\boxed{\sin \angle (AK,SBC)=4/\sqrt{30}}$。令 $m=SM/SB,k=SK/SC,n=SN/SD$。三向量分别按这三个非负比例缩放，混合积给 $\boxed{V_{S-MKN}/V_{S-BCD}=mkn}$。若 $M$ 是中点，则 $m=k=1/2$。在以 $SB,SC,SD$ 为基的仿射坐标中，截平面为 $x/m+y/k+z/n=1$，而 $A$ 坐标为 $(1,-1,1)$；代入给 $n=1$，所以 $N=D$。沿 $AK$ 分割四棱锥，$V_{S-AMK}=(1/2{)}^2{V}_{S-ABC}=1/2$，$V_{S-AKD}=(1/2)V_{S-ACD}=1$，因此 $\boxed{V_{S-AMKN}=3/2}$。