2018 年全国高中数学联赛一试（B 卷） · 第 2 题

解答

设 $H$ 为底面中心，则 $PH\perp$ 底面，且 $PH=1$。当 $Q=H$ 时，$PQ$ 与底面所成角为 $90^{\circ }$，不满足条件。

当 $Q\ne H$ 时，$PQ$ 在底面内的投影为 $HQ$，故所成角为 $\theta =\angle PQH$，且

由于 $0<\theta <90^{\circ }$，$\theta \le 45^{\circ }$ 等价于 $HQ\ge 1$。又因为 $Q$ 在半径为 $2$ 的底面圆内，所以所求区域恰为 $1\le HQ\le 2$ 的圆环，其面积为