2021 年四川预赛

解答

不妨取

此时 $\angle ABD=90^{\circ },\angle BAD=30^{\circ }$。因点 $C$ 在平面 $ABD$ 上的射影位于 $AD$，可设

由 $CA=CB$，比较两边平方得

从而 $t=\frac{1}{2}$。再由 $\angle ACB=90^{\circ }$，

故 $h^2=\frac{1}{2}$。

在平面 $ABD$ 内，$\overrightarrow{BD}=(0,1,0)$ 垂直于 $AB$；在平面 $ABC$ 内，向量

也垂直于 $AB$。这两个向量的夹角就是所求二面角的平面角，故其余弦为

于是其正弦值为