垫脚石（此题 → 相关题） 2012 年安徽预赛 第 10 题 · P010329
把原递推平方，得到常数主增量与倒数平方余项，再累加为主增长加误差和。先用这一式夹定某个有限项，接着研究同一个误差和能否被统一常数控制。
前题只需较粗的调和和上界来判定整数部分；后题反过来先给原项一个粗上界，从而得到误差和的发散下界，证明统一估计不成立。
培玉 · 一试
2025 年贵州预赛
倒数增量递推的整数部分
F3填空题数列的性质
已知数列 满足
则 。
作答
分数写 a/b，根号写 √ 或 sqrt，π 写 pi 也可以。
标准答案：
解析
思路
直接求通项并不自然；平方递推能把主增长量化为 ，余项再用调和和控制，足以把 夹在相邻整数 之间。
解答
各项均为正，并且
因此
另一方面，由递推立即归纳得到 ，故
最后一个估计可把 到 按区间 分组得到，每组之和不超过 。于是
所以
复核
下界和上界都作用于平方，因 可安全开方。上界留有超过 的裕量， 不依赖小数近似。
方法总结
递推 的平方会出现常数主项和较小的倒数平方余项。 先估主项，再用调和级数的粗上界控制余项，常可判定整数部分。
为什么评为 F3（会透露解法方向）
需从 a 的非线性递推转向平方递推，把误差积累控制为倒数和；选取足以跨越相邻整数平方的粗界后无需求通项。
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