2018 年黑龙江预赛 · 第 21 题

解答

（1）离心率给 $a^2=4b^2$，再代入 $P=(2,-1)$ 得 $b^2=2$。所以 $\boxed{C:x^2/8+y^2/2=1}$。（2）$Q=(-2,-1)$，故 $PQ$ 水平。对题述非退化角，两割线斜率可记为 $k,-k$。令 $X=x-2$；直线 $y=-1+kX$ 与椭圆联立得到 $X((1+4k^2)X+4-8k)=0$。除去已知交点 $P$，另交点满足 $X_A=(8k-4)/(1+4k^2)$。同理 $X_B=(-8k-4)/(1+4k^2)$。于是 $x_A-x_B=16k/(1+4k^2)$，$y_A-y_B=k(X_A+X_B)=-8k/(1+4k^2)$，所以 $\boxed{k_{AB}=-1/2}$。