2015 年天津预赛 · 第 12 题

解答

记 $S=a+b+c+d$。线性条件等价于 $-a+c+2d+2S=\sqrt{10}$。因此 $10\le (1+1+4+4)(a^2+b^2+c^2+d^2+S^2)$，目标至少为一。取 $(a,b,c,d)=(-1,0,1,2)/\sqrt{10}$，此时 $S=2/\sqrt{10}$，线性条件与柯西比例均成立，所以最小值为 $\boxed{1}$。