2025 年上海预赛

解答

设圆锥的底面半径为 $R$、高为 $H$，平面 $ABCD$ 到底面中心 $O$ 的距离为 $x$，并令 $t=x/H$。则 $0<t<1$，该平行截面圆的半径为

正方形 $ABCD$ 内接于此截面圆，故其面积为 $2r^2$。正四棱锥的体积为

而原圆锥体积为 $\frac{1}{3}\pi R^{2}H=1$，所以

在 $0<t<1$ 上，

故最大值在 $t=1/3$ 时取得。于是