易混 2023 年贵州预赛 · P006693
两题同时含整数部分与小数结构，却应先识别不同的数根机制：根式和的等式先看不等式取等，普通多项式与取整的等式则可在单位开区间固定整数部分，再用单调性和端点符号计数。
前题的等号关系会强迫新的整数量；后题靠每段端点符号决定是否有根，不能直接套用等号构造。整数点必须从两侧开区间中分离核查。
培玉 · 一试
2025 年山东预赛
含上下取整函数的方程根数
F3填空题导数的应用
对任意实数 ，分别用 和 表示不超过 的最大整数和不小于 的最小整数。若 ，则满足方程
的不同实数 的个数为。
作答
分数写 a/b，根号写 √ 或 sqrt，π 写 pi 也可以。
标准答案：
解析
思路
整数点均不成立；在每个相邻整数开区间内，取整函数固定，方程化为一个严格递增的三次函数，比较两端符号即可数根。
解答
整数 代入时两边相差 ，故均不是解。对 （），方程化为
在该区间内 ：当 时由 可知；当 时由 可知； 可直接看出。并且
所以当 时，区间 内恰有一根；当 时没有根。
在 内需要考察 ，共 个区间，去掉 三个无根区间，根数为
复核
最左区间 与最右区间 的根都在给定闭区间内部；整数端点本身不是根，因此边界没有重复或遗漏。
方法总结
含上下取整的方程应按相邻整数区间分段。若每段函数单调，根的个数就由左右极限的符号决定，最后只需谨慎统计边界区间。
为什么评为 F3（会透露解法方向）
关键是按相邻整数区间统一成三次式，通过单调性和端点符号判定每段唯一根，单独排除三个边界型区间。
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