易混 2021 年吉林预赛 · P007004
两题都用数量积符号筛选角的分支，但严格钝角还包含非零、非反向共线的要求。
任意向量线性组合可能反向共线，需要额外排除；非退化三角形内角已在0至180度之间，还要注意CA与AC方向相反。
培玉 · 一试
2026 年云南预赛
线性组合向量夹钝角的参数范围
F3填空题向量的数量积与几何意义
设向量 满足 ，，且 与 的夹角为 。若 与 的夹角为钝角，则实数 的取值范围为 。
作答
分数写 a/b，根号写 √ 或 sqrt，π 写 pi 也可以。
标准答案：
解析
提示
钝角满足。
思路
数量积为负还包括反向共线，必须排除夹角为的情形。
解答
由及夹角，得，且两向量线性无关。 设，。二者均非零，并且
故数量积为负当且仅当。两组合共线当且仅当； 其中落在该区间的只有。此时，比例为负，夹角为，应排除。 所以答案为
复核
端点对应数量积零，区间内排除点对应反向共线，其余点夹角严格处于和之间。
方法总结
锐角、钝角问题除数量积正负外，还要核查零向量及同向、反向共线。
为什么评为 F3（会透露解法方向）
向量内积不等式给出候选范围，还须排除反向共线的情形，以保证严格夹角条件。
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易混 2023 年福建预赛 · P006653
角度条件翻成代数条件后，端点能否保留取决于原话。复数商为实数允许同向与反向；向量夹角严格为钝角时，反向共线虽然点积为负，仍须另行排除。
不要把实轴条件的整倍数半周，或点积符号，直接当成相同的角度范围。
易混 2021 年四川预赛 · P007057
两题都将夹角条件代数化为点积，但额外退化情况不同。两条切线重合时对应的向量可能为零，不能当作合法的垂直交线；点积为负虽排除了零向量，仍可能是反向共线而非严格钝角。
几何角度与点积条件之间，先核零向量、交点唯一性及共线端点，不能只解出一个代数不等式便结束。
已记下，谢谢！