同一骨架 2012 年天津预赛 第 11 题 · P010022
两题都先把有限表达式拆成下标相差固定步长的相邻因子，成批约消后只保留首尾信息。极限是在这条精确有限式建立之后才进入的。
一个直接给乘积；另一个先把对数和还原成乘积，并在最后回到对数。不能仅看到对数就放弃检查因子的相邻结构。
培玉 · 一试
2012 年中科大少年班初试 · 第 9 题
F2选择题数列与函数的极限
已知数列的通项公式为。设是数列的前项和，则的值为（ ）。
A. 0 B. C. D.
作答
标准答案：D
解析
提示
先把对数的真数因式分解，再将前缀和合并成有限乘积。
想想一道相关的题
先回想这道题的想法，再试试当前题。
思路
相邻因子约去后只剩端点，最后利用对数的连续性求极限。
解答
对每个正整数 ，有
所以
括号中的正数趋于 ，由对数在正数处的连续性，
故选 。
复核
取 ，端点式给 ，与通项首项相同。乘积 为正且逐步趋于 ；所有对数合并及取极限均在正真数范围内。
方法总结
对数项之和可先还原为乘积。二次真数分解后若分子分母的下标只差固定整数，就优先寻找望远镜约分，不要逐项估算无穷和。
为什么评为 F2（会透露解法方向）
二次式分解后直接裂项，有限和确定后套常规极限。
联系 · 2 条
同一骨架 2018 年河北预赛（高三卷） 第 10 题 · P009911
很长的和或积，先改写成相邻辅助量之比或之差，再只保留首尾。对数和可先合并为乘积；非线性递推也可能让同一末项同时控制一个连乘和一个分式和。
前题的下标多项式因式分解后直接相消，最后再取极限；后题先利用递推找相邻比和倒数差，两种相消需要对齐同一个末项。
已记下，谢谢！