2025 年新疆预赛

解答

（1）由题设，

根据余弦定理 $a^2+b^2-c^2=2ab\cos C$，故

即 ${\cos }^{2}C=1/2$。于是 $C=45^{\circ }$ 或 $135^{\circ }$。因 $A=63^{\circ }$，必有 $C<117^{\circ }$，所以 $C=45^{\circ }$，从而

（2）由余弦定理，

条件 $c\cos C=b\cos B$ 化为

若 $a^2=b^2+c^2$，则 $A=90^{\circ }$，与非直角条件矛盾，故

令 $AB=AC=s$，取

则 $D=(s/2,0)$，于是

记三角形面积为 $K$，则

对 $0<A<\pi$ 求导，得

故 $K$ 在 $\cos A=4/5$ 时取得最大值。此时 $\sin A=3/5$，所以