培玉 · 一试

专题地图 › 递推数列

2012 年安徽预赛 · 第 10 题

F4解答题递推数列

（25 分）设无穷数列 ${a_{n}}$ 满足 $a_{1} = 1$ ， $a_{n} = a_{n - 1} + \frac{1}{a _{n - 1}}$ （ $n \geq 2$ ）。
证明：
(1) 当 $n \geq 2$ 时， $a_{n} \geq 2 n$ ；
(2) 不存在实数 $C$ 使得 $a_{n} < 2 n + C$ 对所有 $n$ 都成立。

作答

这是解答题，请在纸上写出完整过程。写完后对照解答给自己评分。

解析

为什么评为 F4（会透露解法方向）

核心在于不能把渐近主项当作固定误差界，需以平方增量、粗上界及调和发散构成闭合的反证链。

用到的方法（会透露解法方向）

核心工具：裂项相消、递推的不变区间与临界值

专题卡：数列只问范围：不变区间、单调和夹逼