2009 年河北预赛 · 第 15 题

解答

在原平面取 $A_1=(0,0),B=(3,0),D=(3/2,3\sqrt{3}/2),C=(9/2,3\sqrt{3}/2)$，$E=(e,0)$，$0<e<3$。设 $K$ 是 $A_1$ 到折痕 $DE$ 的垂足。原 $A_1,C$ 在折痕两侧，折成 $A-DE-C=60^{\circ }$ 后，$A$ 的平面射影为 $O=K-\frac{1}{2}(A_1-K)=\frac{3}{2}K$。（1）$DBC$ 为边长三的正三角形，垂心 $T=(3,\sqrt{3})$。若 $O=T$，则 $K=(2,2\sqrt{3}/3)$。但垂足条件和 $D\in DE$ 要求 $K\cdot D=|K{|}^2$，左边为六，右边为 $16/3$，矛盾。因此 $\boxed{O\text{ 不可能是 }DBC\text{ 的垂心}}$。（2）$A_{1}E=2EB$ 给 $e=2$。平面内 $DE$ 的方向为 $(1/2,-3\sqrt{3}/2)$，$BC$ 的方向为 $(3/2,3\sqrt{3}/2)$，两方向夹角的正弦为 $\sqrt{3/7}$。设所求线面角为 $\phi$，分解为沿折痕和垂直折痕的分量，得 $\sin \phi =\sin 60^{\circ }\sqrt{3/7}=3/(2\sqrt{7})$。故 $\boxed{\phi =\arcsin (3\sqrt{7}/14)}$。