培玉 · 一试

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2026 年新疆预赛

正项递推数列的裂项求和

F2填空题数列的和

已知正项数列 ${a_{n}}$ 满足

a_{1} = 2, a_{n + 1}^{2} = 2 a_{n}^{2} + a_{n} a_{n + 1} .

令

b_{n} = \frac{n + 2}{n ( n + 1 ) a _{n}},

数列 ${b_{n}}$ 的前 $n$ 项和为 $S_{n}$ ，则 $S_{n} =$ 。

作答

分数写 a/b，根号写 √ 或 sqrt，π 写 pi 也可以。

解析

为什么评为 F2（会透露解法方向）

齐次递推除以an²后给公比2或−1，正项排除负根，再将bn按n与n+1的相邻项差裂项。

用到的方法（会透露解法方向）

核心工具：裂项相消

专题卡：裂成相邻差或比，先看能否全部抵消