同一骨架 2025 年北京预赛 · P006194
反复把上一次值送入同一个变换，先识别初值所在的有限闭轨道，再用迭代下标在轨道长度上的余数读取结果。最小轨道长度及每一步有定义都要核验。
分段变换可直接逐点计算；分式变换还可借三角加法描述轨道。
培玉 · 一试
2026 年吉林预赛
F2填空题函数的图像与性质
已知
记
则
作答
分数写 a/b，根号写 √ 或 sqrt，π 写 pi 也可以。
标准答案：
解析
提示
直接写出从 开始的迭代轨道，比试图求 的统一表达式更简洁。
想想一道相关的题
先回想这道题的想法，再试试当前题。
思路
分段函数在 这条轨道上很快回到初值，随后只需对迭代次数取模。
解答
逐次代入得
因此 的轨道周期为 。由于
所以
故选择 。
复核
上述六个数都在 内，并且在 左右所用分支分别正确； 第六次迭代确实回到 ，而此前没有回到初值。
方法总结
求分段函数的高次迭代时，先计算给定初值的有限轨道并寻找周期。只要轨道回到初值， 后续迭代便完全重复，高次问题即可化为模周期的低次计算。
为什么评为 F2（会透露解法方向）
按两段公式迭代六次回到1/5即可确认周期，再将2026对6取余，计算虽重复但路线直接。
联系 · 3 条
易混 2017 年全国高中数学联赛一试（A 卷） 第 1 题 · P007257
两题都以很大的整数和短循环收尾，但循环对象不同：一个反复复合函数，另一个平移输入并跟踪函数值的代数变化。取模前应先写清箭头作用在输入还是输出上。
迭代轨道长度不能直接当函数的横向周期；平移一次也未必保持函数值。
易混 2012 年安徽预赛 第 1 题 · P010320
两题都写反复复合函数，但研究对象不同。一个先化简整条复合函数，再证明它的最小横向平移周期；另一个只沿指定初值计算有限轨道，循环次数属于该轨道的迭代步数。
单个初值回到原值不能确定整条函数的横向周期；复合后的全局周期也不能直接用来替代初值轨道的步数取模。
已记下，谢谢！