同一骨架 2020 年中科大少年班初试 第 8 题 · P009930
两题都用有限求和交换次序,先固定一个元素或一对位置,再统计它对所有对象的贡献。排列题把总贡献除以等可能排列的个数后得到期望,配对交换能求出每一对位置的平均贡献,指标之间无需独立。
前题汇总子集元素的权重,后题汇总排列中位置对的指示量,并使用题目明确的均匀抽样。
集合 的所有子集的元素的和等于。
分数写 a/b,根号写 √ 或 sqrt,π 写 pi 也可以。
不逐个枚举 个子集,而固定一个元素,统计它在多少个子集中出现。
先回想这道题的想法,再试试当前题。
对每个 ,其余五个元素都可独立选择取或不取,故含有 的子集恰有 个。因此所有子集的元素和的总和为
每个子集只按其中的元素逐项贡献,固定元素计数不会重计或漏计;空集贡献为零。
求全部子集上的加权总和时,交换“先选子集、再加元素”的次序,通常可把问题化为每个元素的出现次数。
按元素计算其出现在32个子集中,再乘原集合元素总和,是标准贡献计数。
同一骨架 2020 年中科大少年班初试 第 8 题 · P009930
两题都用有限求和交换次序,先固定一个元素或一对位置,再统计它对所有对象的贡献。排列题把总贡献除以等可能排列的个数后得到期望,配对交换能求出每一对位置的平均贡献,指标之间无需独立。
前题汇总子集元素的权重,后题汇总排列中位置对的指示量,并使用题目明确的均匀抽样。
已记下,谢谢!