2026 年湖南预赛

思路

韦达关系把三个根的和、两两积和、总积对应到首一三次多项式的系数。圆的有理参数 $x=3(1-t^2)/(1+t^2),y=6t/(1+t^2)$ 遍历除一个点外的圆周，遗漏点需另验或取连续极限。

想法从哪来：三个初等对称式相同，先别把三个复数当独立变量；它们恰是一个三次多项式的根。因式分解后，只剩有限个根的排列，两个被选根的相对位置仅有相反与垂直两类。圆以原点为心，旋转或反射不会改变距离，故每类只需研究一个标准摆放。 相反情形可拆成两个普通三角不等式作粗界。垂直情形需要更细的估计：先把目标平方，观察必须补偿的线性坐标项，反向寻找两个距离乘积的下界。将圆用有理参数表示后，平方差若化成一个平方，就说明候选下界成立；同时要检查被平方那一侧的符号、参数遗漏点和等号可达，最后再比较两类。

三个对称式确定了 $\alpha ,\beta ,\gamma$ 所对应的三次多项式，因此先锁定这三个复数。 随后只需区分 $\alpha ,\beta$ 是互相垂直还是互为相反数。垂直情形把复平面坐标化， 将目标平方并构造恰好可取等的乘积下界。