2013 年安徽预赛 · 第 9 题

解答

底面外接圆半径为 $1/\sqrt{3}$，故锥高 $H=\sqrt{4-1/3}=\sqrt{33}/3$。底面面积为 $\sqrt{3}/4$，于是 $\boxed{V=\sqrt{11}/12}$。每个侧面高为 $\sqrt{4-1/4}=\sqrt{15}/2$，侧面面积为 $\sqrt{15}/4$，总表面积为 $S=(\sqrt{3}+3\sqrt{15})/4$。正棱锥的内切球心在对称轴上，半径记 $r$；连接球心到各面，把总体积分成四个高均为 $r$ 的小锥，得 $V=rS/3$。所以 $\boxed{r=\sqrt{11}/(\sqrt{3}+3\sqrt{15})}$。