2013 年天津预赛 · 第 11 题

解答

余1、余2元素各3个，设分别选k、l个；和为3的倍数当且仅当 $k-l\equiv 0(\mathrm{mod}3)$。在 $0\le k,l\le 3$ 中，符合的情况是 $k=l$，以及 $(k,l)=(3,0),(0,3)$。其选择数为 ${\sum }_{k=0}^3{\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{3}{k}\right)}^2+2=\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{6}{3}\right)+2=22$。三个余0元素可任意选，有 $2^3$ 种。最后去掉空集，得 $\boxed{22\cdot 8-1=175}$。