2018 年山西预赛 · 第 10 题

解答

用小写字母表示相应复坐标，令外接圆为单位圆，所以 $\bar{a}=1/a$ 等。点m在弦ab所在直线上的垂足为

此式代入弦方程 $z+ab\bar{z}=a+b$，并检查 $e-m$ 垂直 $b-a$，即可验证。相应地

设 $w=e+f-2m$，整理得

利用各点模长为1，直接取共轭可得

另一方面，令 $v=c-b$，则 $v=-bc\bar{v}$。故

即w与BC的方向垂直。若K为EF中点，则 $k-m=w/2$，所以MK垂直BC，K位于过M垂直BC的直线MN上。因此