2017 年中科大少年班初试 · 第 8 题

解答

正方形 $BDFH$ 的边长为 $L=\sqrt{2+\sqrt{2}}$。原外侧等腰三角形的高为 $h=\sqrt{1-L^2/4}=\sqrt{2-\sqrt{2}}/2$。折成直二面角后，$A,C,E,G$ 各在对应边中点的垂线上，离底面距离为 $h$；上平面与底面平行使四点同侧，反向折叠只给整体镜像。补成长、宽为 $L$、高为 $h$ 的方柱，四个上角各须切去一个四面体，其顶面底三角形面积为 $L^2/8$、高为 $h$。故总体积为 $L^{2}h-4(L^{2}h/24)=5L^{2}h/6=\boxed{5\sqrt{4+2\sqrt{2}}/12}$。