同一骨架 2010 年天津预赛 第 9 题 · P010734
把垂心关于三边反射到外接圆，再连接原垂心与这些反射点，中点正是三高垂足。于是垂足圆的半径与圆心都能由同一个相似变换追踪；即使辅助三角形换成旁心三角形，这个结构仍然成立。
一题从原三角形的三心和垂足圆比较尺度，另一题先识别原三角形是辅助三角形的垂足三角形，再比较中心位置。
培玉 · 一试
2010 年天津预赛 · 第 4 题
F3填空题平面几何综合
已知非等腰锐角三角形 的外心、内心和垂心分别为 ，。若 的三条高线分别为 ，则 的外接圆半径与 的外接圆半径之比为。
作答
分数写 a/b，根号写 √ 或 sqrt，π 写 pi 也可以。
标准答案：
解析
提示
将O关于BC反射为T。
想想一道相关的题
先回想这道题的想法，再试试当前题。
思路
A=60°会使T同时到O、I、H的距离都等于原外接圆半径，直接定位OIH的外接圆；垂足三角形的圆则是九点圆。
解答
记原外接圆半径为R，T为O关于BC的对称点。由于A=60°，O到BC距离为 ，所以TO=R。内心满足 ，故BIC的外接圆半径为
该三角形在I处为钝角，圆心位于BC的与I异侧，距BC为R/2，故其圆心正是T，因而TI=R。将垂心H关于BC反射得H1，因 ，H1在原外接圆上，故 。所以T是OIH的外心，半径为R。D、E、F为三高垂足，它们在原三角形的九点圆上，该圆半径为R/2：反射H到三边得到原圆上三点，再以H为中心缩放1/2，正好得到三垂足。因此
复核
非等腰且A=60°排除了等边情形，O、I、H互异，原问题的两外接圆均非退化。T在BC的与O、I异侧，符合BIC钝角三角形的外心位置；未把该圆心误选为O。
方法总结
三心三角形求外接圆时，可试将原外心关于一边反射；特殊顶角使几个已知圆的半径相同。九点圆半径可由垂心反射后的半比缩放解释。
为什么评为 F3（会透露解法方向）
特殊顶角使反射后的外心同时到三个中心等距，定位三心三角形外接圆；垂足圆再由垂心反射和半比缩放解释半径。
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